重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）（教师版）

重难点突破04立体几何中的轨迹问题目录立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法题型一：由动点保持平行求轨迹例1．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点E是棱11AB的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：①如果1AMBD，则点M的轨迹所围成图形的面积为32；②如果1BM∥平面1AEC，则点M的轨迹所围成图形的周长为352；③如果EM∥平面11DBBD，则点M的轨迹所围成图形的周长为22；④如果1EMBD，则点M的轨迹所围成图形的面积为334．其中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由11AD面11ABBA，而1AB面11ABBA，则11AD1AB，又11ABBA，又1111ADBAA，111,ADBA面11BAD，则1AB面11BAD，由1BD面11BAD，则1AB1BD，同理AC1BD，1ABACA，1,ABAC面1ACB，则1BD面1ACB，所以1BD垂直于面1ACB所有直线，且A面1ACB，若1AMBD，则M在边长为2的正△1ACB的边上，故轨迹图形面积为213(2)sin6022，①对；若,FG分别为,CDAB中点，连接111,,,,AFFCBGGCCB，由正方体的性质易得11////AEBGFC，11AEBGFC，所以1,,,AECF共面，且1AECF为平行四边形，故面1AEC即为面1AECF，由AE面1AECF，1BG面1AECF，则1//BG面1AECF，同理可得//CG面1AECF，1BGCGG，1,BGCG面1BCG，所以面1//BCG面1AECF，要使1BM∥平面1AEC，则M在△1BCG的边上，所以轨迹长为522252，②错；若,,GIJ分别为11,,ABADAD的中点，连接,,,EGGIIJJE，显然//EGIJ，所以,,,EGIJ共面，即,,,EGIJ面EGIJ，由1//EGBB，EG面11DBBD，1BB面11DBBD，则//EG面11DBBD，又//IGBD，同理可得//IG面11DBBD，EGIGG，,EGIG面EGIJ，所以面11//DBBD面EGIJ，故面EGIJ内任意直线都与面11DBBD平行，要使EM∥平面11DBBD，则M在四边形EGIJ的边上运动，此时轨迹长为2221222，③对；若,,,,HIKLN分别是111111,,,,AAABBCCCCD的中点，并依次连接，易知ENLKIH为正六边形，显然1//EHAB，////ENIKAC，由EH面1ACB，1AB面1ACB，则//EH面1ACB，同理可得//EN面1ACB，EHENE，,EHEN面ENLKIH，所以面//ENLKIH面1ACB，由1BD面1ACB，则1BD面ENLKIH，故1BD垂直于面ENLKIH所有直线，要使1ENBD，则M在边长为22的正六边形ENLKIH边上运动，所以轨迹图形面积为2123336()2224，④对；故选：C例2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E在棱1DD上且满足1DEED，点F是侧面11ABBA上的动点，且1//DF面AEC，则动点F在侧面11ABBA上的轨迹长度为．【答案】52【解析】如图，取11ABBA的中点G，并连接1GD、GB、1BD，因为E在棱1DD上且满足1DEED，即E是棱1DD的中点，所以BGCE//，又BG平面AEC，CE平面AEC，所以//BG平面AEC，同理可证1//DG平面AEC，又1BGGDG，所以平面1//BGD平面AEC，又BG平面1BGD，所以//BG平面AEC，所以动点F在侧面11ABBA上的轨迹即为BG，因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：2252BGBAAG.故答案为：52.例3．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCDABCD中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面11BCCB内（包括边界）一动点，且1DP∥平面EFG，则P点的轨迹长度为【答案】2【解析】因为11AD∥BC，则11,,,ABCD四点共面，连接11,CDAB，因为E，F分别为所在棱的中点，则EF∥1AB，且EF平面FGE，1AB平面FGE，所以1AB∥平面FGE，因为F，G分别为所在棱的中点，则FG∥11AD，且FG平面FGE，11AD平面FGE，所以11AD∥平面FGE，1111ABADA，111,ABAD平面11ABCD，所以平面FGE∥平面11ABCD，且平面11BCCB平面11ABCDBC，可得当且仅当点P在棱BC上时，即1DP平面11ABCD，满足1DP∥平面EFG，所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.故答案为：2.变式1．（2023·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，D，E分别为1AA，AC的中点．若侧面11BBCC的中心为O，M为侧面11AACC内的一个动点，//OM平面BDE，且M的轨迹长度为32，则三棱柱111ABCABC-的表面积为．【答案】4883/8348【解析】连接1CE交1AC于I，取1CE的中点F，过F作1//HGAC，分别交111,CCAC于,HG，连接1,,,,HGOGOFOHBC，易得//,//OFBEHGDE，因为,OFHG平面BED，,BEDE平面BED，所以//OF平面BED，//HG平面BED，因为OFHGF，且都在面OHG内，所以平面//OHG平面BED，所以M的轨迹为线段HG，因为11CEIACI，所以11111111322,243CECIACCFEICECICE，因为111CGCCAH，所以11134CFHGCACI，所以11142=42,432CAHGABAACA，故三棱柱111ABCABC-的表面积为13244+34448+8322.故答案为：4883.变式2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E是线段1DD的中点，点M是正方形11BBCC所在平面内一动点，若1//DM平面1ABE，则M点轨迹在正方形11BBCC内的长度为.【答案】5【解析】取1BB的中点P，连接11,,CPPDCD，如图所示：因为11//CDAB，1CD平面1ABE，1AB平面1ABE，所以1//CD平面1ABE.因为1//CPAE，CPË平面1ABE，1AE平面1ABE，所以//CP平面1ABE.又因为1,CPCD平面1CPD，1CPCDC，所以平面1//CPD平面1ABE.因为1//DM平面1ABE，M平面11BBCC，所以M点在平面11BBCC的轨迹为CP.所以2125CP.故答案为：5变式3．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体1111ABCDABCD的棱长为3，点E，F分别在线段1DD和线段1AA上，且12DEED，12AFFA，点M是正方形11BBCC所在平面内一动点，若1//DM平面FBE，则M点的轨迹在正方形11BBCC内的长度为.【答案】10【解析】如图，在1BB上取点H，使得1113BHBB，在1CC上取点G，使得113CGCC，连接11,,,,FHEGHGDHDG.根据正方体的性质可知，11//AABB，11AABB.由已知可得，111123AFAFAA，又1113BHBB，所以11111133BHBBAAAF.又11//BHAF，所以，四边形11FHBA为平行四边形，所以，11//FHAB，且11FHAB.同理可得，//EGCD，且EGCD，1//EBDH.根据正方体的性质可知，11//CDAB，且11CDAB，所以，//FHEG，且FHEG，所以，四边形FEGH是平行四边形，所以，//HGEF.因为HG平面FBE，EF平面FBE，所以//HG平面FBE.同理可得，1//DH平面FBE.因为HG平面1DHG，1DH平面1DHG，1DHHGH，所以，平面1//DHG平面FBE.又平面1DHG平面11BBCCHG，所以，根据面面平行的性质定理可知，只有M在线段HG上运动时，满足条件.过点H作//HLBC，垂足为L，易知3HLBC，且HLLG，111LGGCLC，所以，2210HGHLLG.故答案为：10.变式4．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体1111ABCDABCD中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM//平面1ADC，则动点M的轨迹所形成区域的面积是．【答案】23【解析】如图，边长为2的正方体1111ABCDABCD中，动点M满足BM//平面1ADC，由面面平行的性质得：当BM始终在一个与平面1ADC平行的面内，即满足题意，连接1AB，1BC，11AC，因为11//ABCD且11ABCD，所以四边形11ABCD为平行四边形，所以11//ADBC，同理11//ABDC，又1AD平面11ABC，1BC平面11ABC，所以1AD//平面11ABC，因为1DC平面11ABC，1AB平面11ABC，所以1DC//平面11ABC，又因11111,,ADDCDADDC平面1ADC，所以平面11//ABC平面1ADC，又B平面11ABC，所以动点M的轨迹所形成区域为11ABCV，111122ABBCAC，111322222322ABCS，所以动点M的轨迹所形成区域的面积是23.故答案为：23.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2,EF､分别是棱111,AAAD的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线1DP与平面BEF无公共点，则点P在四边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为.【答案】5【解析】取BC的中点G，连接11,,GDGADA，如图所示：EF､分别是棱111AAAD､的中点，所以1EFAD∥，又因为EF平面1,BEFAD平面BEF，所以1AD平面BEF.因为11,FDBGFDBG∥，所以四边形1FBGD为平行四边形，所以1FBGD∥.又因为FB平面1,BEFGD平面BEF，所以1GD平面BEF.因为111GDADD，所以平面1ADG平面BEF.因为点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，直线1DP与平面BEF无公共点，所以P的轨迹为线段AG，则22215AG.故答案为：5.变式6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为2,EF､分别为1AA，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若1CP平面1CDEF，则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．【答案】225/252【解析】取1BB的中点11,GAB的中点H，连结111,,,,,GHCGCHABEGHF．正方体1111ABCDABCD的棱长为2．,,,EFGH为中点，所以11,EFABGHAB∥∥，所以EFGH∥且2EFGH．因为,FH为分别为11,ABAB的中点，所以1FHCC∥，且1FHCC，所以四边形1FHCC为平行四边形，所以1HCCF∥．因为1HC面1,CDEFCF面1CDEF，所以1HC面1CDEF．同理可证：HG面1CDEF．又11,GHHCHHC面1,CGHGH面1CGH，所以面1CHG面1CDEF．所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形1CHG．因为正方体1111ABCDABCD的棱长为2，所以2211215HCGC，所以三角形1CHG的周长为11255225GHHCGC．故答案为：225.变式7．（2023·全国·高三专题