第三章 一元函数的导数及其应用（测试）（解析版）

第三章一元函数的导数及其应用（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·模拟预测）已知函数2012fxxfxf，则2f（）A．12B．10C．8D．6【答案】B【解析】由题意知201fxxff,所以101201fffff，解得012ff，则2222fxxx，故210f．故选：B2．（2023·四川凉山·三模）已知函数fx的导函数213gxxxxa，若1不是函数fx的极值点，则实数a的值为（）．A．－1B．0C．1D．2【答案】D【解析】由题意可知213fxgxxxxa，若1不是函数fx的极值点，则2310hxxxa,h=，即1302aa，当2a时，2213212fxxxxxx=，故当2,0xfx，当2,0xfx，因此2x是fx的极值点，1不是极值点，故2a满足题意，故选：D3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数()()fxxR的导函数为()fx，且满足()(2)0fxfx，则（）A．函数()fx的图象关于点1,1对称B．函数()fx的图象关于直线2x对称C．函数()fx的图象关于直线1x对称D．函数()fx的图象关于点1,0对称【答案】D【解析】由()(2)0fxfx，可知函数()fx的图象关于直线0212x对称；对()(2)0fxfx求导，得()(2)0fxfx，则函数()fx的图象关于点1,0对称，所以ABC错误，D正确.故选：D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线12yx与曲线ln1yxa相切，则a的值为（）A．1ln22B．2ln22C．ln21D．2ln21【答案】A【解析】设切点坐标为001,2xx，因为ln1yxa，所以11yx，所以切线的斜率01112kx，解得01x，又001ln12xxa，即1ln22a，所以1ln22a.故选：A.5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数2()lnfxxxax存在减区间，则实数a的取值范围为（）A．32(e,)B．32(2e,)C．32(,e)D．32(,2e)【答案】D【解析】由题可知()2lnfxxxxa,因为函数2()lnfxxxax存在减区间,则()0fx有解,即2ln0xxxa有解,令()2lngxxxxa,()2ln3gxx,令()0gx,解得32ex;令()0gx,解得320ex,所以()gx在320,e单调递减,32e,单调递增,所以33332222min()(e)3ee2egxgaa,因为2ln0xxxa有解,所以322e0a,解得322ea.故选:D.6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知sin0.9,0.9,cos0.9abc，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．bcaC．bacD．cba【答案】C【解析】令函数sin,0fxxxx，则1cos0fxx恒成立，故函数()gx在(0,)上单调递增，所以当0x时，00fxf，则0.90.9sin0.90f，于是0.9sin0.9，即ba；当ππ,42x时，ππ0,44x，则πsincos2sin04yxxx，所以sincosxx，而ππ0.942，于是sin0.9cos0.9，即ac；综上：bac.故选：C7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数fx在包含0x的某个开区间,ab上具有1n阶导数，那么对于,xab，有200000000!1!2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn，若取00x，则200000!1!2!!nnfffffxxxxn，此时称该式为函数fx在0x处的n阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将sinx，cosx，ex，lnx，x等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如357sin3!5!7!xxxxx，246cos12!4!6!xxxx，则运用上面的想法求112cossin222的近似值为（）A．0.50B．0.46C．0.54D．0.56【答案】B【解析】由三角恒等变换的公式，化简得21112cossin2sincos112222，又由246cos12!4!6!xxxx，可得246111111cos11110.50.0410.0010.542!4!6!224720，所以cos110.46.故选：B.8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数sinfxxx，若xR，不等式22202xxmff恒成立，则正实数m的取值范围为（）A．3,4B．2,C．3,D．4,【答案】B【解析】因为sinfxxx，其中xR，则cos10fxx，且fx不恒为零，所以，函数fx在R上为增函数，又因为sinsinfxxxxxfx，故函数fx为奇函数，由22202xxmff可得22222xxxmfff，所以，2222xxm，所以，22222xxm，令20xt，因为2222222yttt，当且仅当2t时，等号成立，所以，m2.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线l与曲线2()lnfxxx相切，则下列直线中可能与l垂直的是（）A．04yxB．250xyC．230xyD．20xy【答案】AB【解析】()fx的定义域为0,，1()222fxxx，即直线l的斜率22k，设与l垂直的直线的斜率为m，则1km，所以122m，204m．故选：AB．10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数()fx在R上存在导函数()fx，对任意的xR有2()()fxfxx，且在[0,)上()fxx，若(2)2()2faafa，则实数a的可能取值为（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】222()()()()()022xxfxfxxfxfx令2()()2xgxfx，即()0gxgx，则()gx为奇函数，当0x时，()()0gxfxx，则()gx在区间[0,)上单调递增，故()gx在区间,0上单调递增，则()gx在R上单调递增，∵(2)2()2faafa22(2)(2)()22aafafa，即(2)gaga，∴2aa，解得1a，故A、B正确，C、D错误.故选：AB．11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数1()exxfx，则（）A．()fx有极大值，没有极小值B．()fx有极小值，没有极大值C．函数()fx与2yx的图象有两个交点D．函数1()()2023gxfx有两个零点【答案】AD【解析】1()exxfx，则2ee(1)()eexxxxxxfx，因为e0x在xR恒成立.所以当0x时，0fx，fx在xR单调递减；当0x时，()0fx¢，fx在xR单调递增；所以fx在0x处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据()fx的单调性，画出函数()fx图像，以及2yx的图象，如图：由此可知，函数()fx与2yx的图象只有一个交点，故C错误；函数1()()2023gxfx有两个零点等价于函数()fx与12023y图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数()fx与12023y图像有两个交点，即函数1()()2023gxfx有两个零点；故D正确.故选：AD.12．（2023·全国·模拟预测）设函数1ln1(0)fxxxx，若11fxkx恒成立，则满足条件的正整数k可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【解析】若11fxkx恒成立，则111ln1110fxkxxxkx恒成立，构建1ln111gxxxkx，则ln12gxxk，∵0x，故ln10x，则有：当20k，即2k时，则0gx当0x时恒成立，故gx在0,上单调递增，则010gxg，即2k符合题意，故满足条件的正整数k为1或2；当20k，即2k时，令0gx，则2e1kx，故gx在20,e1k上单调递减，在2e1,k上单调递增，则22e1e0kkgxgk，构建2ekGkk，则21e0kGk当2k时恒成立，故Gx在2,上单调递减，则210GkG，∵233e0,44e0GG，故满足02Gkk的整数3k；综上所述：符合条件的整数k为1或2或3，A、B、C正确，D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数()cosxfxx的图象在πx处的切线方程为________．【答案】0xy【解析】因为()cosxfxx，则πππcosπf，2coss()cosinxxxxfx，则21cossiππππcnosπf，所以切线方程为ππyx，整理得0xy.故答案为：0xy14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数fx______.①定义城为,0，②导函数()0fx¢；③值域为,【答案】1elogx（答案不唯一）【解析】取1elogfxx，因为0x，解得0x，所以fx的定义城为,0，符合①；()()11101lnefxxx¢=?=--，符合②；因为0x，所以fx的值域为,，符合③.故答案为：1elogx（答案不唯一）15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数211(1)xaxxfxaxx，若fx恰有两个极值点，则实数a的取值范围是_________.【答案】0,2【解析】∵1fa，fx为连续函数，(1)fxaxx为单调函数，所以