重难点突破02 函数的综合应用（原卷版）

重难点突破02函数的综合应用目录1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．2、函数1niifxxa的图象与性质分奇、偶两种情况考虑：比如图（1）函数13fxxxx，图（2）函数121gxxxxx（1）当n为奇数时，函数1niifxxa的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；（2）当n为偶数时，函数1niifxxa的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；若*iaiN为等差数列的项时，奇数的图象关于直线xa中对称，偶数的图象关于直线2xxx左中右中对称．3、若fx为,mn上的连续单峰函数，且0,fmfnx为极值点，则当,kb变化时，gxfxkxb的最大值的最小值为02fnfx，当且仅当00,2fnfxkb时取得．题型一：函数与数列的综合图（1）yxO图（2）Oyx例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}nx，满足11x，*12(1)()nnxlnxnN，设数列{}nx的前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A．1nnxxB．112nnnnxxxxC．2121nnxxD．52nS例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1xfxex，数列{}na的前n项和为nS，且满足111,()2nnaafa，则下列有关数列{}na的叙述正确的是（）A．521||43aaaB．78aa„C．101aD．10026S例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1xfxex，数列{}na的前n项和为nS，且满足112a，1()nnafa，则下列有关数列{}na的叙述正确的是（）A．214aB．67aaC．10026SD．521|43|aaa变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足：0na，且22*1132(N)nnnaaan，下列说法正确的是（）A．若112a，则1nnaaB．若12a，则1317nnaC．1532aaaD．21133nnnnaaaa变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数sinlnfxxx，将fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列nx，对于nN，则下列说法中正确的是（）A．π1πnnxnB．1πnnxxC．数列21π2nnx是递增数列D．241π1ln2nnfx变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列na满足：101a，且对任意的正整数n，均有1e3ennaana，则下列说法正确的是（）A．数列na为严格减数列B．存在正整数n，使得0naC．数列na中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得43na题型二：函数与不等式的综合例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式999999999999121xxx，解集为___________.例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契(1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：1,1,2,3,5,8,，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即*21Nnnnaaan，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为11515225nnna．设n是不等式2log(15)(15)5nnn的正整数解，则n的最小值为__________．例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数1()221xfxx，若不等式(41)(2)5xxfmfm对任意的0x恒成立，则实数m的最小值为______________.变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的函数，20fxfx，对任意1x，21,x12xx，均有210fxfx，已知a，bab为关于x的方程22230xxt的两个解，则关于t的不等式0fafbft的解集为（）A．2,2B．2,0C．0,1D．1,2题型三：函数中的创新题例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数()fx在0x处的[,]mn阶帕德近似定义为：011()1mmnnaaxaxRxbxbx，且满足：(0)(0)fR，(0)(0)fR，(0)(0)fR，()()(0)(0)mnmnfR．已知()ln(1)fxx在0x处的[1,1]阶帕德近似为()1axRxbx．注：(4)(5)(4)()(),()(),()(),()(),fxfxfxfxfxfxfxfx(1)求实数a，b的值；(2)求证：1()1xbfx；(3)求不等式12111e1xxxx的解集，其中e2.71828．例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数yfx和ygx的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数yfx和ygx具有C关系．(1)判断函数22log8fxx和12loggxx是否具有C关系；(2)若函数1fxax和1gxx不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数exfxx和sin0gxmxm在区间0,π上具有C关系，求实数m的取值范围．例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为ee2xxcccy，其中c为参数.当1c时，该方程就是双曲余弦函数eecosh2xxx，类似的我们有双曲正弦函数eesinh2xxx.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数cosh2sinhyxx的最小值；①22coshsinh1xx；②sinh22sinhcoshxxx；③22cosh2coshsinhxxx.(2)求证：,4x，coshcossinhsinxx.变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点0x，使得00fxx，那么我们称该函数为“不动点函数，而称0x为该函数的一个不动点．现新定义：若0x满足00fxx，则称0x为fx的次不动点．(1)判断函数()22fxx=-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数112gxx，若a是gx的次不动点，求实数a的值：(3)若函数12log42xxhxb在0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数326fxxxaxb，对于任意的实数a，b，总存在00,3x，使得0fxm成立，则当m取最大值时，ab（）A．7B．4C．4D．7例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数4fxxaxbx，若对任意的实数a，b，总存在01,3x使得0fxm成立，则实数m的最大值为（）A．－1B．0C．8433D．1例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数4fxaxx，若对任意的正实数a，总存在01,4x，使得0fxm，则实数m的取值范围为（）A．,0B．,1C．,2D．,3变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2xfxaxbx，若对任意的实数a，b，总存在0[1,2]x，使得0fxm…成立，则实数m的取值范围是（）A．1,4B．1,2C．2,3D．(,1]变式7．（2023·高一课时练习）已知函数1,fxaxbabRx，当1,22x时，设fx的最大值为,Mab，则,Mab的最小值为（）A．18B．14C．12D．1变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数1ln,fxxaxbabRx，且201,xe，满足001ln1xex，当01,xxe时，设函数fx的最大值为,Mab，则,Mab的最小值为（）A．32eB．12C．12eD．22e变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、bR，且对于01x时，不等式22112xaxb均成立，则实数对,ab_________．题型五：倍值函数例13．（2023·全国·高三专题练习）函数fx的定义域为D，若满足：①fx在D内是单调函数；②存在,abD使得fx在,ab上的值域为,22ab，则称函数fx为“成功函数”．若函数log2xmmtfx（其中0m，且1m）是“成功函数”，则实数t的取值范围为（）A．0,B．1,8C．11,84D．10,8例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数()fx的定义域为D，若存在闭区间[],abD，使得()fx函数满足：（1）()fx在[],ab上是单调函数；（2）()fx在[],ab上的值域是2,2ab，则称区间[],ab是函数()fx的“和谐区间”，下列结论错误的是A．函数2()(0)fxxx存在“和谐区间”B．函数()()xfxexR不存在“和谐区间”C．函数()fx24(0)1xxx存在“和谐区间”D．函数1()log()8xafxa（0a，1a）不存在“和谐区间”例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数()fx的定义域为D，若存在闭区间[,]abD，使得函数()fx满足：①()fx在[,]ab内是单调函数；②()fx在[,]ab上的值域为[2,2]ab，则称区间[,]ab为()yfx的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①；②()()xfxexR；③；④A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数fx的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间,abD，使得函数fx满足：①f