重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）（解析版）

重难点突破03原函数与导函数混合还原问题目录1、对于()()0(0)xfxfx，构造()()gxxfx，2、对于()()0(0)xfxkfx，构造()()kgxxfx3、对于()()0(0)xfxfx，构造()()fxgxx，4、对于()()0(0)xfxkfx，构造()()kfxgxx5、对于()()0(0)fxfx，构造()()xgxefx，6、对于()()0(0)fxkfx，构造()()kxgxefx7、对于()()0(0)fxfx，构造()()xfxgxe，8、对于()()0(0)fxkfx，构造()()bxfxgxe9、对于sin()cos()0(0)xfxxfx，构造()()singxfxx，10、对于sin()cos()0(0)xfxxfx，构造()()sinfxgxx11、对于cos()sin()0(0)xfxxfx，构造()()cosgxfxx，12、对于cos()sin()0(0)xfxxfx，构造()()cosfxgxx13、对于()()(0)fxfxk，构造()[()]xgxefxk14、对于()()ln0(0)fxfxxx，构造()ln()gxxfx15、()[()]fxcfxcx；()()[()()]fxgxfxgx；()()[()()]fxgxfxgx；16、()()()()[()()]fxgxfxgxfxgx；2()()()()()[]()()fxgxfxgxfxgxgx．题型一：利用()nxfx构造型例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知()fx的定义域为()0,+?，()fx为()fx的导函数，且满足()()fxxfx，则不等式2111fxxfx的解集是（）A．()0,1B．()2,+?C．()1,2D．()1,+?【答案】B【解析】根据题意，构造函数()yxfx，0,x，则()()0yfxxfx，所以函数()yxfx的图象在0,上单调递减.又因为2111fxxfx，所以22(1)(1)11xfxxfx，所以2011xx，解得2x或1x（舍）.所以不等式2111fxxfx的解集是2,.故选：B.例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数fx的定义域为0,，且满足0fxxfx（()fx¢是fx的导函数），则不等式2111xfxfx的解集为（）A．,2B．1,C．()1,2D．()1,2-【答案】C【解析】令()()gxxfx，则()()()0gxfxxfx，即()gx在0,上递增，又10x，则2111xfxfx等价于22(1)(1)(1)(1)xfxxfx，即2(1)(1)gxgx，所以22101011xxxx，解得12x，原不等式解集为()1,2.故选：C例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数fx的定义域为0,，fx为函数fx的导函数，若21xfxxfx，10f，则不等式23xf的解集为（）A．0,2B．2log3,2C．2log3,D．2,【答案】D【解析】由题意得，1xfxfxx，即lnxfxxc，所以lnxfxxc，即lnxcfxxx，又10f，所以0c=，故lnxfxx，21ln()0xfxx，可得ex，在(0,e)上，()0fx，()fx单调递增；在(e,)上，()0fx，()fx单调递减，所以()fx的极大值为1(e)=ef.简图如下：所以0fx，231x，2x.故选：D.变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在R上的偶函数yfx的导函数为yfx，当0x时，0xfxfxx，且21f，则不等式22121fxx的解集为（）A．13,,22B．3,2C．13,22D．1113,,2222【答案】C【解析】当0x时，0xfxfxx，所以当0x时，0xfxfx，令Fxxfx，则当0x时，0Fxxfxfx，故Fxxfx在0,上单调递增，又因为yfx在R上为偶函数，所以Fxxfx在R上为奇函数，故Fxxfx在R上单调递增，因为21f，所以2222Ff，当12x时，22121fxx可变形为21212xfx，即212FxF，因为Fxxfx在R上单调递增，所以212x，解得32x，故1322x；当12x时，22121fxx可变形为21212xfx，即212FxF，因为Fxxfx在R上单调递增，所以212x，解得32x，故无解.综上不等式22121fxx的解集为13,22.故选：C.变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在0,上的函数fx满足22+0xfxxfx，324f，则关于x的不等式23fxx的解集为（）A．0,4B．2,C．4,D．0,2【答案】D【解析】令2hxxfx，则220hxxfxxfx，所以hx在0,单调递减，不等式23fxx可以转化为2234224xfxf，即2hxh，所以02x.故选：D.变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数fx的定义域为0,，其导函数是fx，且2fxxfxx．若21f，则不等式2430fxxx的解集是（）A．0,2B．2,C．20,3D．2,3【答案】B【解析】构造函数2313gxxfxx，其中0x，则22220gxxfxxfxxxfxxfxx，故函数2313gxxfxx在0,上为增函数，且8424233gf，因为0x，由2430fxxx可得231433xfxx，即2gxg，解得2x.故选：B.变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知()fx是定义在R上的偶函数，其导函数为(),(1)4fxf，且3()()3fxxfx，则不等式33()1fxx的解集为（）A．,1(),)1(B．(1,0)(0,1)C．(0,1)D．(1,)【答案】C【解析】设33()()gxxfxx，则()gx在R上为奇函数，且(0)0g.又2322()3()()3[3()()3]gxxfxxfxxxfxxfx，当0x时，()0gx，所以()gx在(0,)上为增函数，因此()gx在R上为增函数.又(1)(1)4ff，当0x时，不等式33()1fxx化为33()3xfxx，即()(1)gxg，所以01x；当0x时，不等式33()1fxx化为33()3xfxx，即()3(1)gxg，解得1x，故无解，故不等式33()1fxx的解集为(0,1).故选：C【解题方法总结】1、对于()()0(0)xfxfx，构造()()gxxfx，2、对于()()0(0)xfxkfx，构造()()kgxxfx题型二：利用()nfxx构造型例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在()0,+?的函数fx满足：0,,0xfxxfx，其中()fx¢为fx的导函数，则不等式()()(231)123xfxxfx的解集为（）A．3,42B．4,C．1,4D．,4【答案】A【解析】设2,fxxfxgxgxfxxx，因为0,,0xfxxfx，所以在()0,+?上()0gx¢，所以gx在()0,+?上单调递增，由已知，fx的定义域为()0,+?，所以10,230xx，所以23112)()3(xfxxfx等价于123123fxfxxx，即(()13)2ggxx，所以10230123xxxx，解得342x，所以原不等式的解集是3,42.故选：A.例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)2f(x)，若g(x)＝2fxx，则不等式g(x)g(1)的解集是（）A．(－∞，1)B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足()2()xfxfx，所以()2()0xfxfx,因为2()()fxgxx，所以g(x)也是偶函数.当x∈(0，＋∞)时，3()2()0()xfxgxfxx,所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，若g(x)g(1)，则|x|1(x≠0)，解得0x1或－1x0，故g(x)g(1)的解集是(－1,0)∪(0,1),故选：D例6．（江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数fx是定义在R上的奇函数，20f，当0x时，有0xfxfx成立，则不等式0xfx的解集是（）A．22，，B．202，，C．202，，D．2，【答案】A【解析】0xfxfx成立设fxgxx，则20fxfxxfxgxxx，即0x时gx是增函数，当2x时，20gxg，此时0fx；02x时，20gxg，此时0fx．又fx是奇函数，所以20x时，0fxfx；2x时()()0fxfx则不等式0xfx等价为()00fxx或()00fxx，可得2x或2x，则不等式0xfx的解集是22，，，故选：A．变式5．（西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题）已知函数fx是定义在()()00-ト+?，，的奇函数，当0x，时，xfxfx，则不等式52+250fxxf的解集为（）A．33，，B．3003，，C．3007，，D．327，，【答案】D