重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）（原卷版）

重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数)(xf在0xx处取得极值，且函数)(xfy与直线by交于),(),,(21bxBbxA两点，则AB的中点为),2(21bxxM，而往往2210xxx。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(xfy在区间),(ba内只有一个极值点0x，方程)(xf的解分别为21xx、，且bxxa21，（1）若0212xxx，则称函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x偏移；（2）若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x左偏，简称极值点0x左偏；（3）若0212xxx，则函数)(xfy在区间),(21xx上极值点0x右偏，简称极值点0x右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)Fxfxfxx，若证2120xxx，则令02()()()xFxfxfx.(3)判断单调性，即利用导数讨论()Fx的单调性．(4)比较大小，即判断函数()Fx在某段区间上的正负，并得出()fx与0(2)fxx的大小关系．(5)转化，即利用函数()fx的单调性，将()fx与0(2)fxx的大小关系转化为x与02xx之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122xxf的符号问题，还需进一步讨论122xx与x0的大小，得出122xx所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效3、应用对数平均不等式12121212lnln2xxxxxxxx证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212lnlnxxxx；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一：极值点偏移:加法型例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数2exxaxfx，Ra(1)若2a，求fx的单调区间；(2)若1a，1x，2x是方程ln1exxfx的两个实数根，证明：122xx．例2．（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数2lnfxxxaaR.(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数fx有两个零点1x、2x，证明1221exx.例3．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数lnfxx.(1)讨论函数Rgxfxaxa﹣的单调性；(2)①证明函数1()()exFxfx（e为自然对数的底数）在区间1,2内有唯一的零点；②设①中函数Fx的零点为0x，记()min(),exxmxxfx（其中min{,}ab表示,ab中的较小值），若()Rmxnn在区间1,内有两个不相等的实数根1212,xxxx，证明：1202xxx.变式1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数πsinln,12fxxxaxx为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在12xx，使得12fxfx，求证：122xx．变式2．（2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数232lnxfxxa，a为实数．(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数fx在ex处取得极值，fx是函数fx的导函数，且12fxfx，12xx，证明：122exx变式3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数1lnxaxfxx(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；(2)若函数fx在定义域上有两个极值点1x和2x，若21xx，ee2，求12xx的最小值．变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数elnxafxxxaxR．(1)讨论函数fx的极值点的个数；(2)若函数fx恰有三个极值点1x、2x、3123xxxx，且311xx，求123xxx的最大值．变式5．（2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数()lnfxxax．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当1a时，若1212()()()fxfxxx，求证：122xx变式6．（2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数3213log0,132afxxxxaa．(1)若fx为定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)令ea，设函数314ln93gxfxxxx，且120gxgx，求证：12311xx．变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数ln2fxxax（aR）．(1)试讨论函数fx的单调性；(2)若函数fx有两个零点1x，2x（12xx），求证：12332xxaa．变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数22lnfxaxaxxaR.(1)讨论fx的单调性；(2)若fx有两个零点12,xx，证明：122xxa.变式9．（2023·全国·高三专题练习）设函数2ln1kxfxxx.(1)若0fx对2,x恒成立，求实数k的取值范围；(2)已知方程ln1113exx有两个不同的根1x、2x，求证：126e2xx，其中e2.71828为自然对数的底数.变式10．（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数3ln3fxaxax，aR.(1)当1a时，求曲线3lnsingxfxxx在π2x处的切线方程；(2)设1x，2x是32ln3hxfxaxx的两个不同零点，证明：124axx.变式11．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数()ln(3)fxxxx.(1)讨论()fx的单调性；(2)若存在123,,(0,)xxx，且123xxx，使得123()()()fxfxfx，求证：1232xxx.题型二：极值点偏移:减法型例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数221e1eee2xfxxxx．(1)求函数fx的单调区间与极值．(2)若123123fxfxfxxxx，求证：31e12xx．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e21xfxxa，212gxxaxa（其中e2.71828是自然对数的底数）(1)试讨论函数fx的零点个数；(2)当1a时，设函数hxfxgx的两个极值点为1x、2x且12xx，求证：21ee42xxa.例6．（2023·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数21()ln()2fxxaxxaR.（1）若()fx在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设1,,aemne分别是()fx的极大值和极小值，且Smn，求S的取值范围.题型三：极值点偏移:乘积型例7．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知函数ln1,1,,0,xxfxxeaxxagxbxx．(1)当1b，fx和gx有相同的最小值，求a的值；(2)若gx有两个零点12xx，，求证：12xxe．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxx.(1)证明：1fxx.(2)若函数2hxxfx，若存在12xx使()()12hxhx=，证明：1221exx.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数sintanlnfxxxxaxb，0,2x.(1)求证：2sintanxxx，0,2x；(2)若存在1x、20,2x，且当12xx时，使得12fxfx成立，求证：1221xxa.变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数2()elnxfxxxxax．(1)证明：若1ae，则()0fx；(2)证明：若()fx有两个零点1x，2x，则121xx．变式13．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数lnfxxxa，fxgxaaxx．(1)当1x时，ln2fxx≥恒成立，求a的取值范围．(2)若gx的两个相异零点为1x，2x，求证：212exx．变式14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知()2sinlnfxxxax．(1)当1a时，讨论函数()fx的极值点个数；(2)若存在1x，212(0)xxx，使12()()fxfx，求证：12xxa．变式15．（2023·北京通州·统考三模）已知函数ln(0)afxaxxax(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为1yx，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知agxfxx有两个零点1x，2x，求实数a的取值范围并证明212exx.题型四：极值点偏移:商型例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数()2lnfxexx，其中2.71828e为自然对数的底数.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若12,0,1xx，且21121212lnln2lnlnxxxxexxxx，证明：1211221eexx.例11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数1lnfxxx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1lnfxxx.(1)讨论fx的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112ab.变式16．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数11lnfxaxaxx，aR．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的方程1elnxfxxxx有两个不相等的实数根1x、2x，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：122112ee2xxaxxxx．题型五：极值点偏移:平方型例13．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数2lnfxxax.(1)讨论函数fx的单调性：(2)若12,xx是方程0fx的两不等实根，求证：22122exx；例14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数lnxfxaxx.(1)