第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（十三大题型）（讲义）（解析版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性目录考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．2022年II卷第8题，5分2022年I卷第12题，5分2021年II卷第8题，5分2021年甲卷第12题，5分从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()fx的定义域为A，区间DA：如果对于D内的任意两个自变量的值1x，2x当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间D上是增函数．如果对于D内的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间D上是减函数．①属于定义域A内某个区间上；②任意两个自变量1x，2x且12xx；③都有12()()fxfx或12()()fxfx；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()fx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()fx在区间D上具有单调性，D称为函数()fx的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有) ()(fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数关于原点对称判断()fx与()fx的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())fxfx或()1(()0)()fxfxfx，则函数()fx为偶函数；如果0(())fxfx或()1(()0)()fxfxfx，则函数()fx为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3、函数的对称性(1)若函数()yfxa＋为偶函数，则函数()yfx关于xa对称．(2)若函数()yfxa＋为奇函数，则函数()yfx关于点(0)a，对称．(3)若()()2fxfax，则函数()fx关于xa对称．(4)若2(2)()fxfaxb＋，则函数()fx关于点()ab，对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有(()fxTfx），那么就称函数()yfx为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()fx的最小正周期.【解题方法总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x，2x是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()fx是增函数，则()fx为减函数；若()fx是减函数，则()fx为增函数；②若()fx和()gx均为增(或减)函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx为增(或减)函数；③若()0fx且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数；④若()0fx且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数．2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数()fx的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()yfx在0x处有意义，则有(0)0f；偶函数()yfx必满足()(||)fxfx.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2gxfxfx，1()[()()]2hxfxfx，则()()()fxgxhx.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.(7)复合函数[()]yfgx的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01xxafxmxa()或函数1()()1xxafxma．②函数()()xxfxaa．③函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm④函数2()log(1)afxxx或函数2()log(1)afxxx．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1xmfxmxa或函数2()()1xmfxmmRa．偶函数：①函数()()xxfxaa．②函数()log(1)2mxamxfxa．③函数(||)fx类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yfx有两条对称轴xa，()xbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba.5、对称性技巧（1）若函数()yfx关于直线xa对称，则()()faxfax．（2）若函数()yfx关于点()ab，对称，则()()2faxfaxb．（3）函数()yfax与()yfax关于y轴对称，函数()yfax与()yfax关于原点对称．【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有21210fxfxxx成立，则函数fx一定是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有21210fxfxxx成立，等价于对于任意两个不相等的实数12xx，总有12fxfx.所以函数fx一定是增函数.故选：C例2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-fafbab0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】由()-()-fafbab0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)f(b)，或当ab时，f(a)f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.例3．下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是A．12fxxB．3fxxC．12xfxD．3xfx【答案】D【解析】由于xrxraaa，所以指数函数()xfxa满足()fxyfxfy，且当1a时单调递增，01x时单调递减，所以3xfx满足题意，故选D．考点：幂函数、指数函数的单调性．变式1．函数232fxxx的单调递增区间是（）A．3,2B．31,2和2,C．,1和3,22D．3,2和2,【答案】B【解析】222232,13232,1232,2xxxyxxxxxxxx如图所示：函数的单调递增区间是31,2和2,．故选：B.变式2．（江苏省泰州市海陵区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数2(),(0,)1xfxxx．(1)判断函数()fx的单调性，并利用定义证明；(2)若211fmfm，求实数m的取值范围．【解析】（1）()fx在(0,)上递减，理由如下：任取12,(0,)xx，且12xx，则21212122()()11xxfxfxxx1221212(1)2(1)(1)(1)xxxxxx12212()(1)(1)xxxx，因为12,(0,)xx，且12xx，所以120xx，21(1)(1)0xx，所以21()()0fxfx，即21()()fxfx，所以()fx在(0,)上递减；（2）由（1）可知()fx在(0,)上递减，所以由211fmfm，得21010211mmmm，解得1223m，所以实数m的取值范围为12,23.变式3．（2023·全国·高三专题练习）设0a，1a，证明：函数1xaxx是x的增函数0x．【解析】证明：当210xx，在伯努利不等式定理3中取21xxa，12,01xrrx，则有11rxrx，即12221211xxxxxaax，则有121211xxxaax，从212111xxaaxx，即21xx.所以当0x时，x是x的增函数．变式4．（2023·上海静安·高三校考期中）已知函数2()(0)2xxafxaa，且(0)0f.(1)求a的值，并指出函数()fx的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数()fx在(,)上是增函数.【解析】（1）因为1(0)0faa，又0a，所以1a，所以1()22xxfx，(,)x，此时1()2()2xxfxfx，所以()fx为奇函数；（2）任取12xx，则12121211