第03讲 幂函数与二次函数（五大题型）（讲义）（解析版）

第03讲幂函数与二次函数目录考点要求考题统计考情分析（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.1、幂函数的定义一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①ax的系数为1；②ax的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数yx2yx3yx12yx1yx图象定义域RRR{|0}xx{|0}xx值域R{|0}yyR{|0}yy{|0}yy奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(0)，上单调递减，在(0+)，上单调递增在R上单调递增在[0+)，上单调递增在(0)，和(0+)，上单调递减公共点(11)，4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)fxaxxxxa，其中，12,xx是抛物线与x轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.（1）单调性与最值①当0a时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；②当0a时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa（2）与x轴相交的弦长当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212||||()4||MMxxxxxxa.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)fxaxbxca，当0a时，()fx在区间[,]pq上的最大值是M，最小值是m，令02pqx：（1）若2bpa，则(),()mfpMfq；（2）若02bpxa，则(),()2bmfMfqa；（3）若02bxqa，则(),()2bmfMfpa；（4）若2bqa，则(),()mfqMfp.【解题方法总结】1、幂函数()ayxaR在第一象限内图象的画法如下：①当0a时，其图象可类似1yx画出；②当01a时，其图象可类似12yx画出；③当1a时，其图象可类似2yx画出．2、实系数一元二次方程20(0)axbxca的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,xx212124000bacbxxacxxa（2）方程有两个不等负根12,xx212124000bacbxxacxxa（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,xx120cxxa3、一元二次方程20(0)axbxca的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bxa与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,xx为实系数方程20(0)axbxca的两根，则一元二次20(0)axbxca的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12mxx02()0bmafm12xmx()0fm12xxm02()0bmafm在区间(,)mn内没有实根012120xxmxxm或02()0bmafm02()0bnafn()0()0fmfnOnmyxOnmyxOnmyxOnmyxOnmyx在区间(,)mn内有且只有一个实根()0()0fmfn()0()0fmfn在区间(,)mn内有两个不等实根02()0()0bmnafmfn4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型一：幂函数的定义及其图像【例1】（2023·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数22()22mfxmmx是幂函数，且在0，上递减，则实数m（）A．1B．1或3C．3D．2【答案】AOnmyxOnmyxOnmyx【解析】因为22()22mfxmmx是幂函数，所以2221mm，解得3m或1m，又因为()fx在0，上单调递减，则1m.故选：A【对点训练1】（2023·海南·统考模拟预测）已知25mfxmmx为幂函数，则（）．A．fx在,0上单调递增B．fx在,0上单调递减C．fx在0,上单调递增D．fx在0,上单调递减【答案】B【解析】因为25mfxmmx是幂函数，所以251mm，解得2m或3m，所以2fxx或3fxx，对于2fxx，函数在0,上单调递增，在,0上单调递减；对于3fxx，函数在0,上单调递减，且为奇函数，故在,0上单调递减；故只有B选项“fx在,0上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B【对点训练2】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数yfx的图象过点8,22，则9f的值为（）A．2B．3C．4D．9【答案】B【解析】设幂函数为afxx，图象过点8,22，故8822af，故12a，12fxx，993f.故选：B【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）幂函数ayx中a的取值集合C是11,0,,1,2,32的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（）A．11,0,2B．1,1,22C．11,,32D．1,1,2,32【答案】C【解析】当1a时，1yx定义域和值域均为,00,U，符合题意；0a时，0yx定义域为,00,U，值域为1，故不合题意；12a时，yx定义域为0,，值域为0,，符合题意；1a时，yx定义域与值域均为R，符合题意；2a时，2yx=定义域为R，值域为0,，不符合题意；3a时，3yx定义域与值域均为R，符合题意.故选：C【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数pqyx（,Zpq且,pq互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（）A．p，q均为奇数，且0pqB．q为偶数，p为奇数，且0pqC．q为奇数，p为偶数，且0pqD．q为奇数，p为偶数，且0pq【答案】D【解析】因为函数pqyx的定义域为(,0)(0,)，且在(0,)上单调递减，所以pq0，因为函数pqyx的图象关于y轴对称，所以函数pqyx为偶函数，即p为偶数，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.【解题方法总结】确定幂函数yx的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用【例2】（2023·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数2133mfxmmx的图象关于原点对称，则满足132mmaa成立的实数a的取值范围为___________.【答案】2(,4)3【解析】因函数2133mfxmmx是幂函数，则2331mm，解得1m或2m，当1m时，2()fxx是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知()fx的图象关于原点对称矛盾，当2m时，3()fxx是奇函数，其图象关于原点对称，于是得2m，不等式132mmaa化为：22132aa，即(32)(4)0aa，解得：243a，所以实数a的取值范围为2(,4)3.故答案为：2(,4)3【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0yx图象是一条直线；③若函数2xy的定义域是|0xx，则它的值域是|1yy；④若函数1yx的定义域是|2xx，则它的值域是1|2yy；⑤若函数2yx=的值域是|04yy，则它的定义域一定是|22xx．其中不正确命题的序号是________．【答案】②③④⑤【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；0yx图象是直线1y上去掉点(0,1)，②错误；函数2xy的定义域是|0xx，则它的值域是{|01}yy，③错误；函数1yx的定义域是|2xx，则它的值域是1|02yy，④错误；若函数2yx=的值域是|04yy，则它的定义域也可能是|02xx，⑤错误，故答案为：②③④⑤．【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知2()fxx，1()()2xgxm，若对1[1,3]x，2[0,2]x，12()()fxgx≥，则实数m的取值范围是_________.【答案】1[,)4【解析】因为对1[1,3]x，2[0,2]x，12()()fxgx≥，所以只需minmin()()fxgx即可，因为2()fxx，1()()2xgxm，所以min()00fxf，min1()24gxgm，由104m，解得14m故答案为：1[,)4.【对点训练7】（2023·福建三明·高三校考期中）已知121111log122aaa，，，则实数a的取值范围是___________【答案】1(0,)2【解析】已知1log12a，1a或102a①；1()12a，0a②；121aa，01a„③．综合①②③，求得实数a的取值范围为1(0,)2．故答案为：1(0,)2﹒【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数32,(),xxafxxxa„，若函数()fx的值域为R，则实数a的取值范围为__________．【答案】0,1【解析】由函数3yx单调递增，①当a0时，若xa，有330xa，而20x，此时函数()fx的值域不是R；②当0a时，若xa，有33xa，而22xa，若函数()fx的值域为R，必有23aa，可得01a．则实数a的取值范围为0,1．故答案为：0,1【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）不等式10112202221210xxx的解集为：_________．【答案】22,22【解析】不等式变形为1