第03讲 复数（七大题型）（讲义）（解析版）

第03讲复数目录考点要求考题统计考情分析（1）通过方程的解，认识复数．（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．2022年I卷II卷第2题，5分2021年II卷第1题，5分2021年I卷第2题，5分高考对集合的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．知识点一、复数的概念（1）i叫虚数单位，满足21i，当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii．（2）形如(,)abiabR的数叫复数，记作abiC．①复数(,)zabiabR与复平面上的点(,)Zab一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；0,bzRZ点组成实轴；0,bz叫虚数；0b且0a，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为22||||zabiab，显然，2222||||,zabiabzzab．知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR．（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．注意：复数加、减法的几何意义以复数12,zz分别对应的向量12,OZOZ为邻边作平行四边形12OZZZ，对角线OZ表示的向量OZ就是复数12zz所对应的向量．12zz对应的向量是21ZZ．2、复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．3、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数zabi都可以表示成(cossin)ri形式，其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数zabi的辐角．(cossin)ri叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0arg2z．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即111222121212(cossin)(cossin)cos()sin()ririrri．②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数12,zz对应的向量为12,OZOZ，把向量1OZ绕点O按逆时针方向旋转角2（如果20，就要把1OZ绕点O按顺时针方向旋转角2），再把它的模变为原来的2r倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积12zz．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即111112122222(cossin)cos()sin()(cossin)riririr．题型一：复数的概念例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知12iia的实部与虚部互为相反数，则实数a（）A．13B．13C．12D．12【答案】A【解析】由于12ii2(12)iaaa,12iia的实部与虚部互为相反数，故12(12)0,3aaa，故选：A例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数z满足3i2iz，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．32B．3i2C．12D．32【答案】A【解析】因为3i2iz，所以2i3i2i223i13i4223i3i3iz所以z的虚部为32.故选：A.例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数242izaa为纯虚数，则实数a的值为（）A．2B．2或2C．2D．4【答案】C【解析】因为复数242izaa为纯虚数，则有24020aa，解得2a，所以实数a的值为2.故选：C例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数35i1iz，则（）A．17zB．z的实部与虚部之差为3C．4izD．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【解析】∵35i1i35i4i1i1i1iz，∴z的实部与虚部分别为4，1，224117z，A正确；z的实部与虚部之差为5，B错误；4iz，C正确；z在复平面内对应的点为41,，位于第四象限，D正确．故选：ACD．例5．（2023·辽宁·校联考一模）若z是纯虚数，1z，则21z的实部为______.【答案】1【解析】z是纯虚数，且1z，则有iz，故21i1z，实部为1.故答案为：1.【解题方法总结】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．题型二：复数的运算例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数1i1iz，则zz（）A．1iB．1C．1iD．i【答案】A【解析】依题意，(1i)(1i)2ii(1i)(1i)2z，则||1,izz，所以||1izz.故选：A例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若i12i2iz，则z（）A．11i22B．11i22C．11i22D．31i22【答案】B【解析】由已知得2i1i2i13i1i2i2i2i1i2222z，故11i22z.故选：B.例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足(2i)i3iz，则z（）A．1iB．3iC．15iD．13i【答案】A【解析】因为(2i)i3iz，所以3i2iiz(3i)(i)2ii(i)13i2i1i．故选：A.例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足3i14izz，则||z（）A．2B．4225C．25D．25【答案】C【解析】解法一：由3i14izz得1i34iz17i25，所以2||5z，故选C．解法二：由3i14izz得(34i)1iz，所以5||z2，即2||5z，故选：C．【解题方法总结】设12,(,,,)zabizcdiabcdR，则（1）12()zzacbdi（2）12()zzacbdadbci（3）1222222(0)zacbdbcadizzcdcd题型三：复数的几何意义例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数20233i1i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由题得202333i3i3i(3i)(1i)2i1i1i1i(1i)(1i)，即复平面内对应的点为2,1，在第一象限.故选：A．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数1z与3iz在复平面内对应的点关于实轴对称，则12iz（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】B【解析】因为复数1z与3iz在复平面内对应的点关于实轴对称，所以13iz，所以13i2i3i55i1i2i2i2i2i5z．故选：B．例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是35i，则顶点B对应的复数是（）A．28iB．28iC．17iD．27i【答案】A【解析】由题意得：3,5OA,不妨设C点对应的复数为i0,0abab，则,OCab,由,OAOCOAOC，得22225353350aabbab，即C点对应的复数为53i，由OBOAOC得：B点对应复数为(35i)(53i)28i.故选：A．例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，12,zz对应的点分别为1(0,2)Z，2(1,1)Z，则12zz（）A．2B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题意，知12iz，21iz，所以122i1i1izz，所以122zz．故选：C.【解题方法总结】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．题型四：复数的相等与共轭复数例14．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程20(,)xbxcbcR的一个根，则bc（）A．9B．1C．7D．2i5【答案】B【解析】已知2i（i是虚数单位）是关于x的方程20(,)xbxcbcR的一个根，则2(2i)(2i)0bc，即44i12i0bbc，即32040bcb，解得45bc，故1bc.故选：B．例15．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知12iza，22izb，,abR，若1122i413izzzz，则（）A．2a，3bB．2a，3bC．2a，3bD．2a，3b【答案】C【解析】由已知可得，112i2i2zzaaa，2222224zzbb，所以21122i24i413izzzzab，所以有224413ab，解得23ab或23ab.故选：C.例16．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数34iz，且94izaz，其中a是实数，则（）A．2aB．2aC．1aD．3a【答案】B【解析】因为34iz，所以34iz，所以34i34i3344i94iaaaa，所以339444aa，，解得2a.故选:B.例17．（2023·湖北·模拟预测）已知复数z满足24izz，则z的共轭复数的虚部为（）A．2B．4C．4D．2【答案】B【解析】设i,,Rzabab，则22zab，则24izz，即22i24iaabb，所以2224aabb，解得34ab，所以34i,34izz，所以z的共轭