第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）（解析版）

第03讲等比数列及其前n项和目录考点要求考题统计考情分析（1）理解等比数列的概念．（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（3）了解等比数列与指数函数的关系．2023年甲卷（理）第5题，5分2023年II卷第8题，5分2023年乙卷（理）第15题，5分高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为1=nnaqa．（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒2Gab．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列{}na的首项为1a，公比为(0)qq，则它的通项公式1111()(,0)nnnaaaqcqcaqq．推广形式：－nmmnaaq（2）等比数列的前n项和公式等比数列{}na的公比为(0)qq，其前n项和为111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分1q与1q两种情况讨论求解．②已知1,(1),aqqn（项数），则利用1(1)1nnaqSq求解；已知1,,(1)naaqq，则利用11nnaaqSq求解．③111(1)(0,1)111nnnnaqaaSqkqkkqqqq，nS为关于nq的指数型函数，且系数与常数互为相反数．知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若mnpq时，则mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，2mnpaaa．（2）①设{}na为等比数列，则{}na（为非零常数），{}na，{}mna仍为等比数列．②设{}na与{b}n为等比数列，则{b}nna也为等比数列．（3）等比数列{}na的单调性（等比数列的单调性由首项1a与公比q决定）．当101aq或1001aq时，{}na为递增数列；当1001aq或101aq时，{}na为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列{}na，公比为q，前n项和为nS，则：①等间距抽取2(1),,,,pptptpntaaaa为等比数列，公比为tq．②等长度截取232,,,mmmmmSSSSS为等比数列，公比为mq（当1q时，m不为偶数）．【解题方法总结】（1）若*2()，，，，mnpqkmnpqkN，则2＝＝mnpqkaaaaa．（2）若{}na，{}nb（项数相同）是等比数列，则{}(0)na，1{}na，2{}na，{}nnab，{}nnab仍是等比数列．（3）在等比数列{}na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即23＋＋＋，，，nnknknkaaaa为等比数列，公比为kq．（4）公比不为－1的等比数列{}na的前n项和为nS，则nS，2nnSS，32nnSS仍成等比数列，其公比为nq．（5）{}na为等比数列，若12＝nnaaaT，则232，，，nnnnnTTTTT成等比数列．（6）当0q，1q时，()·0－nnSkkqk是{}na成等比数列的充要条件，此时11akq．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若{}na为正项等比数列，则{log}(c0,c1)cna为等差数列．（9）若{}na为等差数列，则{c}(c0,c1)na为等比数列．（10）若{}na既是等差数列又是等比数列{)na是非零常数列．题型一：等比数列的基本运算例1．（2023·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列na中，13a，1239aaa，则456aaa等于（）A．9B．72C．9或70D．9或72【答案】D【解析】由题意，Nn，在等比数列na中，13a，1239aaa，设公比为q，21119aaqaq，即23339qq，解得2q或1q，∴334561239aaaaaqaq，当1q时，4569aaa，当2q=时，45672aaa.故选：D.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列na中，前3项的和为7，前3项的积为8，则4a的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】由前3项的和为7，得21117aaqaq前3项的积为8，得312328aaaa，即22a，则12aq，代入21117aaqaq，得22227qqqqq，即22520qq，解得2q=或12q，因为na为递增的等比数列，所以2q=，则121aq，所以34128a，故选：D．例3．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，公比为q，且11nnSa，则（）A．12aB．22SC．1qD．2q=【答案】D【解析】因为11nnSa，所以12231,1SaSa，所以121231,1aaaaa，所以2111111,1aaqaaqaq，解得12,1qa，A错误，C错误，D正确，所以23S，B错误；故选：D.变式1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列{}na中，若24a，532a，则公比q应为（）A．12B．2C．12D．－2【答案】D【解析】因为4351213284aaqqaaq，解得q＝－2.故选：D变式2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40【答案】C【解析】由题知23421514qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S.故选:C.变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列na是等比数列，12782,128aaaa，则该数列的10S以及1a依次为（）A．682，23B．682，2C．682，23或2D．682，23或2【答案】C【解析】根据题意，得1167112128aaqaqaq，解方程得1232aq，或122aq，1011010(1)222638112(1)aqSq，或110068212(1((22)))S.故选：C变式4．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{na}的前n项和为nS，若45833,39aaaS，则4a=（）A．64B．81C．128D．192【答案】B【解析】由等比数列的性质可知4518883,0aaaaaa，所以13a，由339S，得21139aqq，所以2120qq，解得3q或4q（舍去），所以34181aaq.故选：B.变式5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列na的前4项和为30，1515aa，则7a（）A．14B．12C．1D．2【答案】A【解析】设等比数列na的公比为q，若1q，则150aa，与题意矛盾；所以1q，则41123441511130115aqaaaaqaaaaq，解得11612aq，所以67114aaq．故选：A．【解题方法总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量1a，n，q，na，nS，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)=11nnnqSaaqaqq．题型二：等比数列的判定与证明例4．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记110%a，120%b，经1n次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为na，nb．(1)试用1na，1nb表示na，nb．(2)证明：数列nnab是等比数列，并求出na，nb的通项．【解析】（1）由题意，经1(2,N)nnn次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为,nnab，所以11114001004150055nnnnnabaab，11114001004150055nnnnnbabba．（2）由（1）知，114155nnnaab，114155nnnbba，可得11113332555nnnnnnabababn，所以数列nnab是等比数列，因为1110ab％，所以1310%5nnnab①，又因为111130%nnnnabababL②．联立①②得135%+15%5nna，135%+15%5nnb．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足422nnnSa，*nN，其中nS为na的前n项和．证明：(1)126nna是等比数列．(2)12311111636363631nnaaaa．【解析】（1）∵422nnnSa，∴1114222nnnSan，两式相减得：11142222nnnnnnSSaa，即2122nnnaan．∴2111111111112111226262621112262626nnnnnnnnnnnnnaaanaaa．当1n时，111422Sa，即11a又∵11110263a，∴126nna是以13为首项，12为公比的等比数列．（2）由（1）得11112632nnna，所以211236nnna令1163121nnnnnba，则222122124121412332211322212122122nnnnnnnnnnbb．不等式左边的前2n项和22311333441144414nnnT．又21201nnnbTT，∴原不等式得证．例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n（*Nn）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为na，在丙手中的方法数为nb.(1)求证：数列1nnaa为等比数列，并求出na的通项；(2)求证：当n为偶数时，nnab.【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为2n，第1n次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为1na，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第1n次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，故10212