第04讲 数列的通项公式（练习）（解析版）

第04讲数列的通项公式（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列na的前n项和为nS，满足21nnnSaa，则2023a（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B【解析】由题意，22nnnSaa，211122nnnSaan，两式相减，得22112nnnnnaaaaa，2211nnnnaaaa．0na，11nnaa．当1n时，21112Saa，11a，na是首项为1，公差为1的等差数列．202312023112023a．故选：B2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列na的前n项和是21n，则5a（）A．9B．16C．31D．33【答案】B【解析】设数列na的前n项和为nS，则21nnS，则54554212116aSS.故选:B.3．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，3，5，7，3，11，…，21n，…，则7是这个数列的（）A．第21项B．第23项C．第25项D．第27项【答案】C【解析】因为数列的第n项为21n，而7492251，所以7是题中数列的第25项．故选：C4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，若12a，132nnnSSa，20S（）A．2032B．21320C．2034322D．2134322【答案】D【解析】由132nnnSSa，得132nnnSSa，所以132nnaa，所以1131nnaa，因为11213a，所以1na是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13nna，所以31nna，所以20212202031334333320201322SL．故选：D5．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列na，则（）A．616aB．1066aC．122nnnaaaD．202320222023aa【答案】D【解析】由相邻层球的个数差，可知11nnaan，11a，所以当2n时，121321(1)()()()1232nnnnnaaaaaaaan，将1n代入12nnna得11a，符合所以12nnna，对于A项，当6n时，667212a，故A项错误；对于B项，当10n时，101011552a，故B项错误；对于C项，因为12nnna，所以221(2)33322nnnnnnaann，21(1)222322nnnann，所以122nnnaaa，故C项错误；对于D项，202320222023202420222023202322aa，故D项正确.故选：D.6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，若满足43nnSa，则nS（）A．2415nB．2413nC．4313nD．431n【答案】C【解析】当1n时，1143Sa，1143SS，得11S，当2n时，143nnnSSS，1343nnSS，1413nnSS，143(3)3nnSS，又134S，所以{3}nS是首项为4，公比为43的等比数列，所以14343nnS，144433133nnnS.故选：C7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知nS是各项均为正数的数列na的前n项和，1122nnnSaS，3564aa，若2650nnaS对N*n恒成立，则实数的最大值为（）A．82B．16C．162D．32【答案】D【解析】11112,2,02nnnnnnnnSaSaSSaa，数列na是首项为1a、公比为2的等比数列，23316464aaa，解得11a或11a（舍），122,21,650nnnnnnaSaS，即121656422nnnnSa恒成立，111164642223222nnnn，当且仅当116422nn即3n时取等号，32.故选：D.8．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列na中，12211,9,3210nnnaaaaa，则na的前n项和nS的最大值为（）A．64B．53C．42D．25【答案】B【解析】由213210nnnaaa,得211210nnnnaaaa,令1nnnaab,所以1210nnbb,则110nb210nb,所以数列10nb是以12121010baa为首项,2为公比的等比数列,所以110222nnnb,即210nnb,即1102nnnaa,由12312132431102,102,102,,102(2)nnnaaaaaaaan,将以上n1个等式两边相加得1121210(1)102812nnnaann,所以1027,2nnann,经检验11a满足上式，故1027,nnan当3n时,11020nnnaa,即na单调递增,当4n时,11020nnnaa,即na单调递减,因为343410327150,10427170,aa565610527110,10627aa110,所以na的前n项和nS的最大值为51915171153S，故选：B9．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列na的通项公式为31,22,nnnann为奇数为偶数，则下列正确的是（）A．619aB．76aaC．522SD．68SS【答案】BC【解析】对于A，6是偶数，则621210a，A错误；对于B，7622aa，B正确；对于C，54(2)10(6)1622S，C正确；对于D，56612SSa，86781222(14)20SSaa，68SS，D错误.故选：BC.10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有na个球，从上往下n层球的球的总数为nS，则（）A．11(2)nnaannB．784SC．9898992aD．1232022111140442023aaaa【答案】BCD【解析】由题意得，121321=1=2=3nnaaaaaaan，，，，，以上n个式子累加可得(1)=12(2)2nnnann，又11a满足上式，所以(1)=2nnna，故A错误；则2345673610152128aaaaaa，，，，，，得7127==1+3+6+10+15+21+28=84Saaa，故B正确；有9898992a，故C正确；由1211=2()(1)1nannnn，得12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023aaa，故D正确.故选：BCD.11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列na的前n项和为0nnSS，且满足1402nnnaSSn，114a，则下列说法正确的是（）A．数列na的前n项和为4nSnB．数列na的通项公式为141nannC．数列na不是递增数列D．数列1nS为递增数列【答案】CD【解析】1402nnnaSSn，则11402nnnnSSSSn，即11142nnnSS，故1nS是首项为4，公差为4的等差数列，故14nnS，即14nSn，111144244441nnnaSSnnnnn，114a.对选项A：14nSn，错误；对选项B：1,1?                41241nnannn，错误；对选项C：114a，218a，故数列na不是递增数列，正确；对选项D：14nnS，故数列1nS为递增数列，正确；故选：CD.12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设nS是数列na的前n项和．下面几个条件中，能推出na是等差数列的为（）A．当*Nn时，nnSaB．当*Nn时，nnSnaC．当*Nn时，1nnnSaaD．当*Nn时，12nnnSa【答案】ABD【解析】对于A，当2n时，nnSa且11nnSa，两式相减可得11nnnnnaSSaa，即10na．所以na是恒为0的数列，即na是公差为0的等差数列，故A正确；对于B，当2n时，nnSna且11(1)nnSna，两式相减可得11(1)nnnnnaSSnana，即1(1)(1)nnnana，所以1nnaa，即na是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；对于C，如果10a，令1n可得21a，当2n时，1nnnSaa且11nnnSaa，两式相减可得111nnnnnnaSSaaa，如果0na，则111nnaa，这并不能推出na是等差数列，例如：考虑如下定义的数列na：1，1，2，2，3，3，L，则其通项公式可写成2nan，21nan．则222122111(2)(1)nnnkknnkkSaaknnaa，22122212(1)nnnnnSSannnnaa．即数列1，1，2，2，3，3，L满足1nnnSaa对任意正整数n成立，但它并不是等差数列，故C错误；对于D，当2n时，12nnnSa且112nnnSa，两式相减可得11122nnnnnnnaSSaa，所以1(1)nnnana，即1111nnaaann，故1nana，即na是公差为1a的等差数列，故D正确；故选：ABD．13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列na的前n项和为nS，且2nSnna，则“0a”是“3242aaa”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）【答案】充分不必要【解析】当0a时，2nSnn，当1n时，211110aS，当2n时，122[(1)(1)]22nnnaSnnnSnn，因为10a满足上式，所以22nan，所以322(232)8a，242222428aa，所以3242aaa成立，由2nSnna可得2222122112aSSaa