第04讲 数列的通项公式（十六大题型）（讲义）（解析版）

第04讲数列的通项公式目录考点要求考题统计考情分析（1）掌握数列通项的几种常见方法．2023年乙卷（文）第18题，12分2023年甲卷第17题，12分2023年II卷第18题，12分高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与na的关系，求数列na的通项na可用公式11,(1),(2)nnnSnaSSn构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合nnS为一个表达，（要先分1n和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型Ⅲ累加法：形如1()nnaafn型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...nnnnaafnaafnaaf将上述2m个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．类型Ⅳ累乘法：形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...nnnnafnaafnaafa将上述2m个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型Ⅴ构造数列法：（一）形如1nnapaq（其中,pq均为常数且0p）型的递推式：（1）若1p时，数列{na}为等差数列；（2）若0q时，数列{na}为等比数列；（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设1()nnapa，展开移项整理得1(1)nnapap，与题设1nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpapappp1()11nnqqapapp，即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二：由1nnapaq得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列．求出1nnaa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.na（二）形如1()nnapafn(1)p型的递推式：（1）当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定、AB的值，转化成以1aAB为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn，1(1)nnapafn两式相减得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为类型Ⅴ㈠求出nb，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.na（2）当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列()nafn，再利用等比数列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn——①，1(1)nnapafn，两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②，由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.na法三：递推公式为1nnnapaq（其中p，q均为常数）或1nnnaparq（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：111nnnnaapqqqq，引入辅助数列nb（其中nnnabq），得：11nnpbbqq再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当()fn为任意数列时，可用通法：在1()nnapafn两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则11()nnnfnbbp，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出nb之后得nnnapb．类型Ⅵ对数变换法：形如1(0,0)qnnapapa型的递推式：在原递推式1qnapa两边取对数得1lglglgnnaqap，令lgnnba得：1lgnnbqbp，化归为1nnapaq型，求出nb之后得10.nbna（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型Ⅶ倒数变换法：形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式：两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa形式，化归为1nnapaq型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq的递推式，也可采用取倒数方法转化成111nnmmaqap形式，化归为1nnapaq型求出1na的表达式，再求na．类型Ⅷ形如21nnnapaqa型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列1{}nnaa的形式求解．方法为：设211()nnnnakahaka，比较系数得,hkphkq，可解得、hk，于是1{}nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为1nnapaq型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na题型一：观察法例1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（）个球．A．12B．20C．55D．110【答案】C【解析】由题意知：11a，21212aa，323123aa，1123nnaann，所以101231055a.故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列na，则6=a（）A．17B．37C．107D．128【答案】C【解析】∵na能被3除余2且被7除余2，∴2na既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且0na，∴2211nan，即2119nan，∴6=216-19=107a．故选：C．例3．（2023·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的个数记为na，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为,nnCS，其中图n中每个正六边形的边长是图1n中每个正六边形边长的13，则下列说法正确的是（）A．4294aB．31003CC．存在正数m，使得nCm恒成立D．133729nnS【答案】D【解析】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，由题意得na为公比为7的等比数列，所以17nna，故347343a，A错误；B选项，由题意知16C，276143C，23798633C，B错误；C选项，nC为等比数列，公比为73，首项为6，故1763nnC，因为713，所以1763nnC单调递增，不存在正数m，使得nCm恒成立，C错误；D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为17nna个，每个小正六边形的边长为113n，故每个小正六边形的面积为2231643n，则211223337791643nnnnS，D正确.故选：D变式1．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为na，则21435049aaaaaa（）A．650B．1050C．2550D．5050【答案】A【解析】由条件观察可得：2143652,4,6aaaaaa，即2212nnaan，所以221nnaa是以2为首项，2为公差的等差数列.故21435049252425226502aaaaaa，故选：A变式2．（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（）A．22B．24C．25D．26【答案】B【解析】设该数列为na，当n为奇数时，22223517113151710,4,12,24,2222aaaa所以21,2nnan为奇数；当n为偶数时，2422246822682,8,18,32,2222aaaa所以2,2nnan为偶数数；所以222524251242422aa，故选:B.变式3．（2023·全国·高三专题练习）若数列na的前4项分别是11112345，，，，则该数列的一个通项公式为（）A．1(1)nnanB．(1)1nnanC．(1)nnanD．1(1)1nnan【答案】D【解析】因为数列na的前4项分别是11112345，，，，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，1(1)1nnan正确.故选：D变式4．（2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，13，16，110，L构成数列na，其前n项和为nS，则20S（）A．3920B．4021C．4121D．419210【答案】B【解析】由题意可知，123421121232312634121045aaaa