第01讲 计数原理（练习）（解析版）

第01讲计数原理（模拟精练+真题演练）1．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中,AB两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（）A．6B．12C．16D．18【答案】A【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.共有2232CA=6种方法，故选：A2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）A．40B．28C．20D．14【答案】B【解析】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，两个路口为13人分布，共有132432CCA8种方案，两个路口为22人分布，共有22242222CCA6A种方案，此时共有8614种方案；同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有8614种方案.所以一共有28种不同的安排方案种数.故选：B3．（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．150B．90C．48D．36【答案】A【解析】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有123533CCA90种不同的提问方式；②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有212532CCA60种不同的提问方式．综上，共有6090150种不同的提问方式，故选：A4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）A．18种B．24种C．36种D．54种【答案】D【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为3333A54.故选：D.5．（2023·河北·校联考三模）在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角A处前往最东南角B处，则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点P到点Q的最短距离走法种数为（）A．60B．70C．80D．90【答案】A【解析】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2步，所以共有3252CC10种不同的走法，又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有16C6种不同的走法，根据分步计数原理得，从点P到点Q的最短距离走法种数共有10660种.故选：A.6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）种.A．10B．9C．8D．12【答案】A【解析】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.下面分三种情形讨论.（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.总之，按题意要求从一层到二层共有43310种可能的不同过程.故选：A7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（）A．76种B．82种C．86种D．90种【答案】D【解析】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，首先将4人分成2组，有2422C3A种不同的分法，下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有23A6种不同的结果；若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有11223222CCAA24种不同的结果，所以每个馆恰有2人预约的不同方案有362490(种)．故选：D.8．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．32种B．20种C．16种D．14种【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，有1242CC4（种）选法；②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，有2142CC12（种）选法.综上，两类课程中都至少选一门的选法有41216（种）.故选：C.9．（多选题）（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（）A．选1人为负责人的选法种数为30B．每组选1名组长的选法种数为3024C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种【答案】ABC【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数：678930，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法：67893024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法：676869787989335，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有44种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有：434337，故D错误；故选：ABC.10．（多选题）（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考二模）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位A处出发到达B处和C处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是ABC，也可以是ACB，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（）A．31条B．36条C．210条D．315条【答案】CD【解析】设小矩形的长为a，宽为b，则从AB的最近路线为24ab，从AC的最近路线为32ab，若2ab，则选择行走顺序为ACB，先从AC，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有3252CC10种，从CB，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有5272CC21种，所以从ACB的不同路线有1021210种；若2ab，则选择行走顺序为ABC，先从AB，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有2464CC15种，从BC，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有5272CC21种，所以从ABC的不同路线有1521315种.综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.故选：CD.11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去A地重点高中进行教学调研.现知A地有三所重点高中，则下列说法正确的是（）A．不同的调研安排有243种B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种【答案】ABD【解析】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，故不同的调研安排有53243种，故A正确；对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有3115212210CCCA，2215312215CCCA种分组方法，则不同的调研安排有331015A150种，故B正确，C错误；对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有211342132236CCCAA种，则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114种，D正确.故选：ABD.12．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是.（用数字作答）【答案】180【解析】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.第一类1，1，4情况：若甲分1本，已分得书籍A，则另两人一人1本，1人4本，共有1252CA种，若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有3252CA种，故第一类情况共有12325252CACA30种；第二类1，2，3情况：若甲分1本，已分得书籍A，另两人一人2本，1人3本，共有2252CA种，若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有112542CCA种，若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有212532CCA种，故第二类情况共有2211221252542532CACCACCA120种；第三类2，2，2情况：每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有1254CC30种；所以不同的分发方式种数共3012030180.故答案为：180.13．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为．【答案】15120【解析】4副长联内容不同，赠送方法有44A24种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，有17A7种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，方法种数为2223222642364233CCCACCC90A．所以所求方法种数为2479015120．故答案为：15120.14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为.【答案】8【解析】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有