第02讲 三角恒等变换（九大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲三角恒等变换目录考点要求考题统计考情分析（1）会推导两角差的余弦公式（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换2023年II卷第7题，5分2023年I卷II卷第8题，5分2022年II卷第6题，5分2021年甲卷（文）第11题，5分三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用．知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sincoscossin；②cos()coscossinsin；③tantantan()1tantan；知识点二．二倍角公式①sin22sincos；②2222cos2cossin2cos112sin；③22tantan21tan；知识点三：降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222知识点四：半角公式1cos1cossin;cos;2222sin1costan.21cossina知识点五．辅助角公式)sin(cossin22baba（其中abbaababtancossin2222，，）．【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形)tantan1)(tan(tantan；1)tan(tantan)tan(tantan1tantan．2、降幂公式与升幂公式2sin21cossin22cos1cos22cos1sin22；；；2222)cos(sin2sin1)cos(sin2sin1sin22cos1cos22cos1；；；．3、其他常用变式sincos1cos1sin2tantan1tan1cossinsincos2costan1tan2cossincossin22sin222222222；；．4、拆分角问题：①=22；=(+)-；②()；③1[()()]2；④1[()()]2；⑤()424．注意：特殊的角也看成已知角，如()44．题型一：两角和与差公式的证明例1．（浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，90BC，1AD，点E为BC上一点，且AEDE，过点D作DFAB于点F，设BAE，DAE.(1)利用图中边长关系DFBECE，证明：sinsincoscossin；(2)若13BECE，求sin2cos2.例2．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin33sin4sin；②3cos34cos3cos根据以上研究结论，回答：(1)在①和②中任选一个进行证明：(2)求值：sin1098.例3．（2023·全国·高三专题练习）(1)试证明差角的余弦公式()C：cos()coscossinsin；(2)利用公式()C推导：①和角的余弦公式()C，正弦公式()S，正切公式()T；②倍角公式(2)S，(2)C，(2)T.变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A，1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，(cos(),sin())P，从这个图出发.（1）推导公式：cos()coscossinsin；（2）利用（1）的结果证明：1coscos[cos()cos()]2，并计算sin37.5cos37.5的值.变式2．（2023·广东揭阳·高三统考期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：coscoscossinsin．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，．它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．则cos,sinOA，cos,sinOB，由向量数量积的坐标表示，有coscossinsinOAOB．设OA，OB的夹角为，则coscoscoscossinsinOAOBOAOB，另一方面，由图（1）可知，2k；由图（2）可知2k，于是2k，kZ．所以coscos，也有coscoscossinsin；所以，对于任意角，有：coscoscossinsinC．此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C．有了公式C以后，我们只要知道cos，cos，sin，sin的值，就可以求得cos的值了．阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：(1)判断1OCOMOM是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）(2)证明：coscos2coscos22．【解题方法总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．题型二：两角和与差的三角函数公式例4．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知ππsinsin()3cossin36，则sin(2)6π（）A．－1B．32C．12D．32例5．（2023·福建三明·高三统考期末）已知πsincos16，则πcos3（）A．33B．33C．63D．63例6．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）3sin3，π0,2，π4，则tan（）A．221B．223C．223D．322变式3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设π1tan44，则πtan4等于（）A．-2B．2C．-4D．4变式4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知3πsin,,π52，若sin4cos，则tan（）A．167B．78C．167D．23【解题方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知π3，tantan33，则cos()的值为（）A．12B．13C．14D．16例8．（2023·上海静安·高三校考期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（）A．sin()2cossinsin()0B．cos()2sinsincos()0C．cos()2sinsincos()0D．sin()2cossinsin()0例9．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点123(cos,sin),(cos,sin),(cos(),sin()),(1,0)PPPA．给出下列四个结论：①12OPOP；②12APAP；③312OAOPOPOP；④123OAOPOPOP．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①④C．①③D．③④变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知1coscos2，1sinsin3，则cos的值为（）A．1372B．1372C．5972D．5972变式6．（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若πsin3cos4sincos3，则（）A．tan3B．tan3C．tan3D．tan3变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角满足2sinπ3，则sin22sincos的值为（）A．19B．459C．19D．459【解题方法总结】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．题型四：角的变换问题例10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知πtan34，则cos2（）A．35-B．35C．1D．1例11．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）已知tan34，则sincos3cossin22（）A．13B．13C．3D．3例12．（2023·江西·校联考二模）已知π5sin45x，则πcos23x（）A．23310B．23310C．33410D．33410变式8．（2023·四川·校联考模拟预测）若为锐角，且π3cos125，则πsin3（）A．7210B．210C．210D．7210变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知π3ππsin,,3526，则sin的值为（）A．34310B．34310C．32310D．32310变式10．（2023·安徽淮南·统考二模）已知ππ340,π,sin,cos()2255，则sin（）A．2425B．2425C．2425或2425D．0或2425变式11．（2023·山西晋中·统考三模）已知，为锐角，且tan2，2sin2，则cos（）A．31010B．31010C．1010D．1010变式12．（2023·山东日照·高三校考阶段练习）已知，0,π，π2tan32，π6cos63，则cos2（）A．539B．33C．539D．33变式13．（2023·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考开学考试）已知412cos,cos,,0,,656136则cos()（）A．1665B．3365C．5665D．6365【解题方法总结】常用的拆角、配角技巧：2()()；()()；(2)()22