重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）（解析版）

重难点突破02解三角形图形类问题目录解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中90BAC，30ABC，ADCD，设ACD.（1）若ABC面积是ACD面积的4倍，求sin2；（2）若6ADB，求tan.【解析】（1）设ACa，则3ABa，sinADa，cosCDa，由题意4ABCACDSS，则1134cossin22aaaa，所以3sin22.（2）由正弦定理，ABD中，sinsinBDABBADADB，即3sinsin6BDa①BCD中，sinsinBDBCBCDCDB，即2sinsin33BDa②①÷②得：2sin3sin3，化简得3cos2sin，所以3tan2.例2．（2023·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 ABCD中=90BAC， =60ABC，ADCD，设 =ACD．（1）若ABC面积是ACD面积的4倍，求 sin2;（2）若1 tan=2ADB，求 tan.【解析】（1）设BAa，则C3Aa，3sinADa，3cosCDa，由题意4ABCACDSS，则11343cos3sin22aaaa，所以3sin26.（2）由正弦定理，在ABD△中，sinsinBDABBADADB，即sinsinBDaADB①在BCD△中，sinsinBDBCBCDCDB，即2sin)sin26（BDaADB②②÷①得：sin2tan1sin6ADB，sinsin6，化简得cos(23)sin，所以tan2+3.例3．（2023·全国·高三专题练习）在①2ABAD，②sin2sinACBACD，③2ABCACDSS这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，πABCADC，2BCCD，且______.(1)证明：tan3tanABCBAC；(2)若3AC，求四边形ABCD的面积.【解析】（1）方案一：选条件①.在ABC中，由正弦定理得，sinsinsinACBCABABCBACACB，在ACD中，由正弦定理得，sinsinsinACCDADADCDACACD，因为πABCADC，所以sinsinABCADC，因为BCCD，所以sinsinBACDAC，因为πBACDAC，所以BACDAC，因为2ABAD，所以sin2sinACBACD.因为sinsinACBABCBAC，sinsinsinπsinACDCADADCBACABCABCBAC，所以sin2sinABCBACABCBAC，即sincoscossin2sincoscossinABCBACABCBACABCBACABCBAC，所以sincos3cossinABCBACABCBAC，所以tan3tanABCBAC.方案二：选条件②.在ABC中，由正弦定理得，sinsinACBCABCBAC，在ACD中，由正弦定理得，sinsinACCDADCDAC，因为πABCADC，所以sinsinABCADC，因为BCCD，所以sinsinBACDAC.因为πBACDAC，所以BACDAC.因为sinsinACBABCBAC，sinsinsinπsinACDCADADCBACABCABCBAC，sin2sinACBACD，所以sin2sinABCBACABCBAC，即sincoscossin2sincoscossinABCBACABCBACABCBACABCBAC，所以sincos3cossinABCBACABCBAC，所以tan3tanABCBAC.方案三：选条件③.因为1sin2ABCSBCACACB△，1sin2ACDSCDACACD△，且BCCD，2ABCACDSS，所以sin2sinACBACD在ABC中，由正弦定理得，sinsinACBCABCBAC，在ACD中，由正弦定理得，sinsinACCDADCDAC，因为πABCADC，所以sinsinABCADC，因为BCCD，所以sinsinBACDAC，因为πBACDAC，所以BACDAC.因为sinsinACBABCBAC，sinsinsinπsinACDCADADCBACABCABCBAC，所以sin2sinABCBACABCBAC，即sincoscossin2sincoscossinABCBACABCBACABCBACABCBAC，所以sincos3cossinABCBACABCBAC，所以tan3tanABCBAC.（2）选择①②③，答案均相同，由（1）可设ADx，则2ABx，在ABC中，由余弦定理得，222245cos28ABBCACxABCABBCx，在ACD中，由余弦定理得，22225cos24ADCDACxADCADCDx，因为coscosπcosABCADCADC，所以2245584xxxx，解得102x或102x（舍去），所以10cos8ABC，所以21036sinsin188ABCADC，所以四边形ABCD的面积39153sin28ACDSSADCDADC△.变式1．（2023·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，π3π,1,24BCDABABC.(1)当2,7BCCD时，求ACD的面积.(2)当π,26ADCAD时，求tanACB.【解析】（1）当2BC时，在ABC中，3π1,4ABABC，由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC，即23π322cos54AC，解得5AC，所以2226310cos210210ACBCABACBACBC，因为π2BCD，则310sincos10ACDACB，又7CD，所以ACD的面积是113103sin571422104ACDSACCDACD.（2）在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBABC，即3πsin24sin2cosABACACBACD，在ACD中，由正弦定理得sinsinADACACDADC，即πsin16sinsinADACACDACD，则212cossinACDACD，整理得sin2cosACDACD，因为π2ACD，所以tan2ACD，因为π2BCD，所以πsinπcos122tantanπ2sintan2cos2ACDACDACBACDACDACDACD.变式2．（2023·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，2,1,23BCDABABC．(1)若2,7BCCD，求ACD的面积；(2)若,26ADCAD，求cosACD．【解析】（1）因为21,,23ABABCBC，由余弦定理得22222cos73ACABBCABAC，即7AC，由余弦定理得22257cos214ACBCABACBACBC，所以57sinsincos214ACDACBACB，所以ACD的面积157sin24SACCDACD（2）在ADC△中，由正弦定理得sinsinADACACDADC，即21sin2ACACD①，在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBABC，即11cos3sin22ACACDACD②，①②联立可得sin23tancos3ACDACDACD，因为0,2ACD，所以21cos7ACD变式3．（2023·广东·统考模拟预测）在平面四边形ABCD中，90ABDBCD，45DAB.（1）若2AB，30DBC，求AC的长；（2）若3tan4BAC，求tanDBC的值.【解析】（1）在Rt△ABD中，因为45DAB，所以2DB，在RtBCD中，2cos303BC，在ABC中，由余弦定理得2222cos43223cos120723ACABBCABBCABC，所以723AC.（2）设DBC，在RtBCD中，cos2cosBCBD，因为sin3tancos4BACBACBAC，所以4cossin3BACBAC，于是22225cossinsin19BACBACBAC，因为090BAC，所以3sin5BAC，4cos5BAC，在ABC中，由正弦定理得sinsinABCBACBBAC，所以22cos3sin905CAB，于是3coscos5CAB，即24cos3sincos3，所以22224cos3sincos43tan3cossin1tan，因为090，所以213tantan6DBC.变式4．（2023·江苏徐州·高一统考期末）在①22222coscossinaBCaAcb，②2sincosbaBBc，③ABC的面积2sintancos4SbbCcCB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.(1)求角C；(2)若点D在边AB上，且2BDAD，5cos13B，求tanBCD.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】（1）若选择①：因为22222coscossinaBCaAcb，结合余弦定理222cos2acbBac，得22coscos2cossinaBCacBA，即cossinAaCc，由正弦定理可得sinsinCacA，所以sinsinsincosAACC，又0,πA，所以sin0A，所以1iosnc1sCC，即tan1C，又0,πC，所以π4C；若选择②：因为2sincosbaBBc，结合正弦定理可得2sinsinsincossinBABBC，即sinsincossin2sinsin2sinsinπB