第03讲 不等式与不等关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第03讲不等式与不等关系（精讲）题型目录一览不等式性质的应用比较数（式）的大小已知不等式的关系，求目标式的取值范围不等式的综合问题1.比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较ba0ba)0(1baba，或)0(1baba，ba0ba)0(1bbaba0ba)0(1baba，或)0(1baba，2.不等式的性质性质性质内容对称性abbaabba；传递性cacbbacacbba，；，可加性cbcaba可乘性bcaccbabcaccba00，；，同向可加性dbcadcca，同向同正可乘性bdacdcba00，可乘方性nnbaNnba*0，【常用结论】1.作差法比较大小的步骤是：一、知识点梳理（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.2.等式形式及不等式形式解题思路二、题型分类精讲题型一不等式性质的应用策略方法1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．【典例1】已知55loglogab，则下列不等式一定成立的是（）A．abB．5log0abC．51abD．acbc【题型训练】一、单选题1．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果0ab，那么下列不等式一定成立的是（）A．abB．11abC．1122abD．lnlnab2．（2023·全国·高三专题练习）已知ab，且0ab，Rc，则下列不等式中一定成立的是（）A．22abB．11abC．2ababD．2211abcc3．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则22acbc；②若ab，则22ab；③若a＞b，则33ab；④若ab，则22ab.其中，正确的命题是（）.A．①②B．②③C．③④D．①④4．（2023·吉林·统考三模）已知110ba，则下列不等式不一定成立的是（）A．abB．2baabC．11ababD．ln0ba5．（2023·全国·高三专题练习）已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（）A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．11yx＜D．yx＜6．（2023·全国·高三专题练习）已知0ab，下列不等式中正确的是（）A．ccabB．2abbC．12ababD．1111ab二、多选题7．（2023·全国·模拟预测）若0mnp，0mp，则（）．A．ppmnB．220mpC．11mnmpD．22mnnm8．（2023·全国·模拟预测）已知a，b为实数，且11ab，则下列不等式正确的是（）A．22abB．22122baabbC．11bbaaD．4441aa9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足221xyxy，则（）A．1xyB．2xyC．222xyD．221xy题型二比较数（式）的大小与比较法证明不等式策略方法比较两个数或代数式的大小的三种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．【典例1】若0ab，则下列不等式一定成立的是（）A．11bbaaB．11ababC．ababbaD．22abaabb【题型训练】一、单选题1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）“0acb”是“abacbc”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、多选题2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若0a，0b，且21ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．2215abB．21112baC．13babbD．1eab3．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若0ab，0m，则下列不等式成立的是（）A．22abB．3322abababC．11ababD．amabmb三、填空题4．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设a、b为实数，比较两式的值的大小：22ab_______222ab（用符号,,,或=填入划线部分）．5．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，则p＝2ba﹣a与q＝b﹣2ab的大小关系是_____．四、解答题6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：baacbd；（2）设x，Ry，比较222xy与2()xyxy的大小.7．（2023·全国·高三专题练习）比较abba与(00abab，)的大小.题型三已知不等式的关系，求目标式的取值范围策略方法1．判断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．2．利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【典例1】已知0,1,2,4abab，则42ab的取值范围是（）A．1,5B．2,7C．1,6D．0,9【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知23,21ab，则2ab的取值范围为（）A．(0,2)B．(2,5)C．(5,8)D．(6,7)2．（2023·全国·高三专题练习）已知－3a－2，3b4，则2ab的取值范围为（）A．(1，3)B．4934，C．2334，D．112，3．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知31ba，37ab，则5ab的取值范围为（）A．15,31B．14,35C．12,30D．11,274．（2023·全国·高三专题练习）已知,abR且满足1311abab，则42ab的取值范围是（）A．[0,12]B．[4,10]C．[2,10]D．[2,8]5．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知实数x，y分别是方程|||1|1tt的解，则2xy的取值范围是（）A．[0,2]B．[2,2]C．[0,3]D．[3,3]二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足322,124,xyxy则（）A．x的取值范围为(1,2)B．y的取值范围为(2,1)C．xy的取值范围为()3,3D．xy的取值范围为(1,3)7．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知0a，0b，且满足41aab，51bba．则22ab的取值可以为（）A．10B．11C．12D．20三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）已知214x，则21xx的取值范围是__________9．（2023·全国·高三专题练习）已知41ac，145ac，9ac的取值范围是_______________题型四不等式的综合问题【典例1】若正实数,ab满足ab,且lnln0ab,则下列不等式一定成立的是（）A．1log0abB．11abbaC．133ababD．11baab【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足1xy，则下列不等式恒成立的是（）A．2222xyB．xyyxxyxyC．12xyxyD．12xyyx2．（2023·全国·高三专题练习）已知10aba，则下列结论正确的是（）A．1abbaB．loglogaabbabC．loglogabbaabD．11baab3．（2023·全国·高三专题练习）设,xyR，且01xy，则（）A．22xyB．tantanxyC．42xyD．1(2)xyyx4．（2023·河南郑州·统考二模）已知3515ab，则下列结论正确的是（）A．abB．22112abC．5abD．228ab5．（2023·全国·高三专题练习）已知,,abcR且0,abcabc，则22acac的取值范围是（）A．2,B．,2C．5,22D．52,26．（2023·全国·模拟预测）已知π2ea，eeb，2eln2c，试比较a，b，c的大小关系为（）A．bcaB．bacC．cabD．cba二、多选题7．（2023·全国·校联考模拟预测）设0,0xy，且122yx，则（）A．01yB．1xyC．2xy的最小值为0D．1xy的最小值为3228．（2023·全国·模拟预测）若22254xxyy，,Rxy，则（）A．21yB．22xC．28xyD．2232xy9．（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足231xy，则下列结论正确的是（）A．01xyB．01yxC．427yxD．22427yx三、填空题10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知sin13a，32πb，π2396c，则,,abc的大小关系是___________.11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当0c时，23bac且2bca，则2acb的取值范围是____________．