第08练 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·北京通州·统考模拟预测）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（）A．1yxB．3yxC．eexxyD．tanyx【答案】B【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可.【详解】对于A，函数1yfxx在0,上递减，故A不符题意；对于B，函数3yfxx的定义域为R，关于原点对称，因为3fxxfx，所以函数为奇函数，又函数在R单调递增，故B符合题意；对于C，函数eexxyfx的定义域为R，关于原点对称，因为eexxfxfx，所以函数为偶函数，故C不符合题意；对于D，函数tanyfxx，因为5π0014ff，所以函数不是增函数，故D不符题意.故选：B.2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知xR，函数fx都满足32fxfx，又23f，则11f（）A．3B．2C．32D．23【答案】D【分析】通过分析得6fxfx，则2211523fff.【详解】根据题意，32fxfx，且0fx，则23fxfx，22fxfx，则263fxfx，故6fxfx，所以函数fx的周期为6，所以2211523fff．故选：D．3．（2023·全国·模拟预测）函数2cossinfxxxxx的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算f和2f的值即可得到正确答案.【详解】因为22cossincossinfxxxxxxxxxfx，且函数定义域为R，关于原点对称，所以fx是偶函数，其图象关于y轴对称，排除C；22πcosππsinππ0f，排除B；2ππππππcossin2222222f，排除D.故选：A.4．（2023·高三课时练习）设fx是定义在1,1上的偶函数，且fx在0,1上是严格减函数，112f，则1fx的解集为（）A．1,12B．11,2C．111,,122D．111,,122U【答案】C【解析】由函数为偶函数可将不等式化为12fxf，即可利用单调性求解.【详解】fx是定义在1,1上的偶函数，11122ff，则不等式1fx为12fxf，则12fxf，fx在0,1上是严格减函数，12x，解得12x或12x，又定义域为1,1，故不等式的解集为111,,122.故选：C.【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为12fxf利用单调性求解是解题的关键.5．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数fx同时满足性质:①fxfx;②当12,0,1xx时,12120fxfxxx,则函数fx可能为()A．2fxxB．1()2xfxC．()cos4fxxD．ln1fxx【答案】D【分析】①()()fxfx说明()fx为偶函数，②121212,(0,1),0fxfxxxxx,说明函数在(0,1)上单调递减,再逐项分析即可.【详解】①()()fxfx说明()fx为偶函数，②121212,(0,1),0fxfxxxxx,说明函数在(0,1)上单调递减.A不满足②，B不满足①，C不满足②,因为()cos4fxx在0,4单调递减，在,14单调递增.对于D,满足①,当(0,1),()ln(1)xfxx,单调递减,也满足②.故选：D.6．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数ln,10,01,0xxfxxxx，若2110fa，则实数a的取值范围是（）A．e1,2B．1e1,0,22C．e10,2D．e1,2【答案】D【分析】讨论21a与0、1的大小关系，写出(21)fa的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.【详解】因为(21)10(21)1fafa.①当211a时，e1(21)ln(21)112faaa.②当0211a时，1(21)0112faa.③当210a时，1(21)2112faaa.综上所述：e12a.故选：D.7．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设函数12e1xfx，则（）A．fx关于0,1对称B．fx关于0,0对称C．fx关于1x对称D．fx关于()1,1-对称【答案】D【分析】根据函数对称性的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，因为11222e1e1xxfxfx，所以fx不关于0,1对称，故A错误.对选项B，因为11220e1e1xxfxfx，所以fx不关于0,0对称，故B错误.对选项C，因为11222e1e1e11exxxxfx，11221e1e1xxfx，11fxfx，所以fx不关于1x对称，故C错误.对选项D，因为2e21121ee1xxxfxfx，所以fx关于()1,1-对称，故D正确.故选：D8．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数1fx为偶函数，且函数fx在1,上单调递增，则关于x的不等式127xff的解集为（）A．,3B．3,C．,2D．2,【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为1fx为偶函数，所以1fx的图像关于y轴对称，则fx的图像关于直线=1x对称．因为fx在1,上单调递增，所以fx在,1上单调递减．因为127(5)xfff，所以7125x，解得3x．故选：A.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数fx的图象连续不断，且满足2fxfx，则以下结论成立的是（）A．函数fx的周期2TB．(2021)(2022)0ffC．点(1,0)是函数yfx图象的一个对称中心D．fx在[2,2]上有4个零点【答案】ABC【分析】根据题意求得函数fx的周期为2T，结合函数的周期性和00f，逐项判定，即可求解.【详解】由定义在R上的奇函数fx的图象连续不断，且满足2fxfx，所以函数fx的周期为2T，所以A正确；由121ff，即111fff，所以110ff，且00f，又由(2021)10,(2022)00ffff，所以(2021)(2022)0ff，所以B正确；由2fxfxfx，可得点(1,0)是yfx图象的一个对称中心，所以C正确；由fx在[2,2]上有210120fffff，所以函数fx在[2,2]上有5个零点，所以D错误.故选：ABC.10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx满足：fx关于0,0中心对称，fx关于1x对称，且312f.则下列选项中说法正确的有（）A．fx为奇函数B．fx周期为2C．912fD．2fx是奇函数【答案】AD【分析】由于fx的定义域为R，且关于0,0中心对称，可知()fx是奇函数，又fx关于1x对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.【详解】由于fx的定义域为R，且关于0,0中心对称，可得()fx是奇函数，故A项正确；因为()fx关于直线1x对称，即()(2)fxfx，所以()(2)4fxfxfx，所以函数()fx的周期4T，故B项错误；119133421222222ffffff，故C项错误；22242fxfxfxfx，所以(2)fx是奇函数，故D项正确.故选：AD.三、填空题11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设yfx是定义在R上的奇函数，且2fxfx，又当0,1x时，2fxx，则25.5f的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为2fxfx，所以42fxfx，所以4fxfx，所以yfx的周期为4，因为yfx是定义在R上的奇函数，当0,1x时，2fxx，所以25.5461.5ff1.5f0.52f0.5f0.5f20.51，故答案为：112．（2023·全国·高三对口高考）已知函数yfx，xR，yfx是奇函数，且当0x时，32xfxxa，则0x时，fx________．【答案】321xx【分析】由奇函数性质得1a，再根据奇函数求解析式即可.【详解】解：因为fx为R上的奇函数，当0x时，32xfxxa，所以0010fa，解得1a．所以当0x时，321xxxf．当0x时，0x．所以321xfxxfx．所以321xfxx．所以，0x时，321xfxx故答案为：321xx13．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数fx满足22fxfx，当0,1x时，21xfx，则2log10f的值为___________.【答案】35-【分析】首先根据题意得到函数fx是以4为周期的周期函数，再结合奇函数的性质和对数的运算性质求解即可.【详解】由题意，函数fx满足22fxfx，化简可得4fxfx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，因为fx为奇函数，所以222225log10log104logloglog85858fffff，因为222log1loglog258，即20log185，所以28log52283log10log2155ff.故答案为：35-14．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数fx是定义在22,上的奇函数，且2,011,12xxxfxxx，则31022fff_________.【答案】34/0.