第20讲 三角函数的图像与性质（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第20讲三角函数的图像与性质（精讲）题型目录一览①正弦函数的图像与性质②余弦函数的图像与性质③正切函数的图像与性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中Zk)(1)在正弦函数xysin，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．(2)在余弦函数xycos，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．函数xysinxycosxytan图象定义域RR}2|{kxRxx，值域]11[，]11[，R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间]2222[kk，]22[kk，)22(kk，递减区间]23222[kk，]22[kk，无对称中心)0(，k)02(，k)02(，k对称轴方程2kxkx无一、知识点梳理二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；(2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；(3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．题型一正弦函数的图像与性质【典例1】方程1sin2x的根中，在0,2内的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】方程1sin2x的解等价于两个函数1sinyx与212y图像交点的横坐标，所以分别画出两函数图像，由图即可得出结论.【详解】如图所示，在区间0,内|1sin2x的两个根为6和56，又因为526，所以在区间0,2内|1sin2x只有一个根6.故选：A.二、题型分类精讲【典例2】函数sincos2fxxx在区间0,2π上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】利用二倍角余弦公式得2()2sinsin1fxxx，令其为0，解出sinx值，再根据x的范围，即可得到零点.【详解】令22()sin12sin2sinsin10fxxxxx，解得sin1x或1sin2x，又[0,2]xÎ,则3π2x或π6x或5π6x,则函数()sincos2fxxx在区间0,2π上的零点个数为3个.故选：B.【题型训练】一、单选题1．函数2sin,0,4πyxx的图象与直线2y的交点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】画出2sin,0,4πyxx以及2y的图象，由此确定正确答案.【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数2sin,0,4πyxx和直线2y的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个.故选：D2．“”是“sinsin”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先判断充分性，再判断非必要性，即得解.【详解】当时，sinsin，所以“”是“sinsin”的充分条件；当sinsin时，不一定成立，如2sinsin33，但是233，所以“”是“sinsin”的不必要条件.故选：A【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.3．函数π3sin202yxx最大值为（）A．2B．5C．8D．7【答案】A【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.【详解】π,02x时，sin1,0x，所以3sin21,2x，所以函数π3sin202yxx最大值为2.故选:A.4．函数sin1fxx的零点是（）A．π2πZ2kkB．3π2πZ2kkC．ππZ2kkD．πZkk【答案】B【分析】令sin10fxx，再根据正弦函数的性质即可得解.【详解】令sin10fxx，则sin1x，所以3π2πZ2xkk，所以函数sin1fxx的零点是3π2πZ2kk.故选：B.5．设函数sinfxx，则fx（）A．在区间27,36上是单调递减的B．是周期为2的周期函数C．在区间,02上是单调递增的D．对称中心为,0k，kZ【答案】A【分析】先当0x时，sinfxx，又sinfxx是偶函数，由此可判断命题的真假.【详解】当0x时，sinfxx，在3,22上是单调递减的，故A正确；sinfxx是偶函数，无周期性，故B错误；sinfxx是偶函数，在,02单调递减，故C错误；sinfxx是偶函数，无对称中心，故D错误；故选：A二、多选题6．函数()sin2|sin|,[0,2]fxxxx的图象与直线yk的交点个数可能是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABCD【分析】根据sin0x…和sin0x对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对k分类讨论即可判断．【详解】解：由题意知，()sin2|sin|,[0,2]fxxxx，3sin,[0,]sin,(,2]xxfxxx，在坐标系中画出函数()fx的图象如图所示：由其图象知，当直线yk，(1,3)k时，()sin2|sin|fxxx，0,2x的图象，与直线yk有且仅有两个不同的交点．当直线yk，0k或1k时，()sin2|sin|fxxx，0,2x的图象，与直线yk有且仅有三个不同的交点．当直线yk，3k时，()sin2|sin|fxxx，0,2x的图象，与直线yk有且仅有一个不同的交点．当直线yk，,03,k时，()sin2|sin|fxxx，0,2x的图象，与直线yk无交点．故选：ABCD．三、填空题7．观察正弦函数的图像，可得不等1sin2x的解集为______．【答案】7ππ2π2π,66xkxkkZ【分析】画出sinyx的图像，根据图像确定正确答案.【详解】画出sinyx的图像如下图所示，由图可知，不等1sin2x的解集为7ππ2π2π,66xkxkkZ.故答案为：7ππ2π2π,66xkxkkZ8．函数πsin6yx，π0,2x的值域是______.【答案】1,12【分析】利用整体代换和正弦函数的性质即可求解.【详解】因为π0,2x，所以ππ2π,663x，所以1πsin126x，即函数πsin6yx的值域为1,12.故答案为：1,12.9．如果方程sinxa在π,π6x上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.【答案】1,12【分析】结合三角函数图像判断即可；【详解】结合三角函数图像可知，当1,12a时，直线sin,yxya有两个交点，故答案为：1,12题型二余弦函数的图像与性质【典例1】函数π1cos,4π3fxxx的图象与直线yt（t为常数）的交点最多有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】作出函数π1cos,4π3fxxx与函数yt的图象，可得出结论.【详解】作出函数π1cos,4π3fxxx与函数yt的图象，如下图所示：由图可知，当302t时，函数π1cos,4π3fxxx的图象与直线yt（t为常数）的交点最多有4个.故选：D.【典例2】不等式3cos20x在π,π上的解集为（）A．2π2ππ,,π33UB．2π2π,33C．5π5ππ,,π66UD．5π5π,66【答案】D【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.【详解】∵3cos20x，则3cos2x，注意到π,πx，结合余弦函数图象解得5π5π,66x.故选：D.【题型训练】一、单选题1．函数y＝|cosx|的一个单调增区间是（）A．,22B．[0，π]C．3,2D．3,2π2【答案】D【分析】首先画出cosyx的图像，根据图像判断各选项，从而得到答案.【详解】将y＝cosx的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|cosx|的图像根据各选项判断只有D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查通过函数图像判断函数单调性的知识点，属于基础题型.2．函数1cos2yx的定义域为A．33，B．,,33kkkZC．2,2,33kkkZD．R【答案】C【解析】由1cos2x，结合余弦函数的图象，即可求解.【详解】函数1cos2yx有意义，须1cos2x，解得22,33kxkkZ，所以函数的定义域为2,2,33kkkZ.故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题.3．已知函数2cosyx的定义域为4,33，值域为,ab，则ba的值是A．2B．3C．32D．23【答案】B【分析】根据三角函数的定义域，求出值域，也即求得,ab的值，进而求得ba的值.【详解】由于π4π,33x，故1cos1,2x，2cos2,1x，即2,1,3abba，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，属于基础题.对于定义域范围不同的三角函数，其值域可借助图像来求解出来.4．函数2coscos22fxxxxR的最大值是（）A．12B．5C．6D．1【答案】B【分析】先由余弦的二倍角公式对函数化简，统一成余弦，然后配方利用余弦函数的有界性可求得其最大值.【详解】22112coscos222cos2cos122coscos42fxxxxxxx2cosx21122，当cos1x，即2πxkkZ时，max5fx．故选：B．【点睛】此题考查了余弦的二倍角公式，配方法，属于基础题.5．若函数coscos,0,2yxxx的大致图像是A．B．C．D．【答案】D【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．【详解】30,2232,0222xycosxcosxcosxxx或剟剟，cosyx在[0，)2为减函数，在3(2，2]为增函数，并且函数值都大于等于0，只有D符合，故答案为D【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于