第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第21讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）题型目录一览①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式⑤三角函数图像与性质的综合应用一、)sin(wxAy的图像与性质（1）最小正周期：wT2.（2）定义域与值域：)sin(wxAy的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值（以下00wA，）;)(22;)Z(22AZkkwxAkkwx时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当（4）单调性.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；ZkkkwxZkkkwx（5）对称轴与对称中心.).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000xwxywxZkkwxxxwxywxZkkwx的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与x轴交点的位置.一、知识点梳理（6）平移与伸缩函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的图象的步骤注：每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx”变化多少.【常用结论】1.根据图像求解析式一般步骤①根据最高最低点求出A②根据周期算出T2，,题目一般会提供周期的一部分③通过带最高或最低点算出φ2.对称与周期(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是2T；(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是2T；(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离4T；3.函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．二、题型分类精讲题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性【典例1】函数sin3cos0,πfxxxx的单调递增区间是（）A．50,π6B．5ππ,66C．π,03D．π,06【题型训练】一、单选题1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数22()cossin22xxfx，则（）A．fx在ππ,26上单调递减B．fx在ππ,412上单调递增C．fx在π0,3上单调递减D．fx在2π7,π41上单调递增2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数22cos3sin22xfxx单调递减的区间是（）A．ππ,3B．ππ,3C．ππ,32D．π,π23．（2023春·高三课时练习）函数π3sin26yx的单调递增区间是（）A．π5ππ,π,36kkkZB．πππ,π,63kkkZC．π5π2π,2π+,36kkkZD．ππ2π,2π,63kkkZ4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（）A．sin60sin50sin40B．tan60tan50tan40C．cos60cos50cos40D．cos80sin80tan80二、多选题5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数πcos26fxx，则（）A．fx的最小正周期为2πB．fx在5π,012上单调递增C．fx的图象关于直线7π12x对称D．若π0,6x，则fx的最小值为16．（2023·全国·高三专题练习）关于函数πsin213fxxxR，下列说法正确的是（）A．函数fx在π0,2上最大值为312B．函数fx的图象关于点2π,13对称C．函数fx在π0,2上单调递增D．函数fx的最小正周期为π7．（2023·全国·高一专题练习）设函数ππ()sin2cos244fxxx，则（）A．fx是偶函数B．fx在π0,2上单调递减C．fx的最大值为2D．fx的图象关于直线π2x对称三、填空题8．（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数π()2cos24fxx的递增区间为___________.9．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）函数ππsin4sin436fxxx的单调递减区间为______.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数πcos26fxx，π0,2x.则fx的最大值为___________.11．（2023·全国·高三专题练习）函数221cossin3yxx的单调增区间是______．12．（2023·湖北·统考模拟预测）请写出一个满足下列3个条件的函数fx的表达式__________.①fxfx；②在1,12上单调递减；③10fxfx.四、解答题13．（2023春·高三单元测试）已知函数2()3sin22sinfxxxm，再从①fx的最大值与最小值之和为0，②π02f这两个条件中选择一个作为已知条件.(1)求m的值；(2)求函数fx在π0,2上的单调递增区间.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.14．（2023春·浙江·高三期中）已知函数πcoscos6fxxx．(1)求函数fx的周期及在0,π上的单调递增区间：(2)若关于x的方程fxt在π,02上有两个不同的实数根．求实数t的取值范围．题型二函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性【典例1】使函数()sin(2)fxx为偶函数的最小正数φ＝（）A．πB．π2C．π4D．π8【典例2】已知函数()sin(sincos)fxxxx，则下列说法正确的是（）A．fx的最小正周期是2πB．fx的最大值是2C．fx的图象的一条对称轴是直线π4xD．fx的图象的一个对称中心是π1,82【题型训练】一、单选题1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数3sin2cos2fxxx为偶函数，则的一个值可以是（）A．π3B．π6C．π3D．7π62．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数πcos2π2fxx，若x是函数fx图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（）A．π,012B．π,06C．π,04D．π,033．（2023·贵州遵义·统考三模）已知曲线2cosyx的一条对称轴是π3x，则的值可能为（）A．π3B．π6C．2π3D．π24．（2023·校考模拟预测）已知函数2π12cos06fxx的最小正周期为T，且π2π43T，若fx的图象关于直线π6x对称，则π8f（）A．32B．12C．32D．125．（2023·山东日照·三模）函数()sin(2)fxx的图像向左平移π3个单位得到函数()gx的图像，若函数()gx是偶函数，则tan（）A．3B．3C．33D．336．（2023·全国·统考高考真题）已知函数()sin()fxx在区间π2π,63单调递增，直线π6x和2π3x为函数yfx的图像的两条对称轴，则5π12f（）A．32B．12C．12D．327．（2023·北京西城·统考二模）已知函数()sin()fxx．则“(1)(1)ff”是“()fx为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数3sin3cosfxxx的图象向右平移0个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π29．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数()cos()(010,0π)fxx图象的一个对称中心是π08A,，点20,2B在()fx的图象上，下列说法错误的是（）A．π()cos24fxxB．直线5π8x是()fx图象的一条对称轴C．()fx在7π11π88,上单调递减D．π8fx是奇函数10．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数πsin(0)3fxx图象的两个相邻零点的差的绝对值为π2，则（）A．fx的最小正周期为π2B．将fx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数πsin212gxx的图象C．fx的图象关于直线5ππ6xkkZ对称D．fx的单调递增区间为π5ππ,π1212kkkZ二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）设函数223sincos2cosfxxxx，若函数yfx为偶函数，则的值可以是（）A．π6B．π3C．5π6D．2π312．（2023·全国·高三专题练习）若函数ππsincossinsin36fxxx的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（）A．π3B．π6C．π3D．2π313．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数2sincosfxxx，下列结论正确的是（）A．函数yfx的周期为πB．函数yfx图象关于直线π2x对称C．函数yfx在ππ,66上递增D．函数yfx的最大值为114．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数sin20πfxx的图象关于点2π,03中心对称，则（）A．fx在区间5π0,12单调递减B．fx在区间π11π,1212有两个极值点C．直线5π12x是曲线yfx的对称轴D．直线32yx是曲线yfx的切线三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）设函数πsin23yx的图象关于点0,0Px成中心对称，若0π,02x，则0x______.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数cos3()22fxx图象关于直线518x对称，则函数fx在区间0，上零点的个数为_______.17．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数()fx满足以下三个条件：①()()1gxfx是偶函数；②(2)()0gxgx；③()fx的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数()fx的解析式______．18．（202