第24练 平面向量的数量积及其应用（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第24练平面向量的数量积及其应用（精练）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量(2,1)(2,4)ab，，则abrr（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】先求得ab，然后求得abrr.【详解】因为2,12,44,3ab，所以22435ab.故选：D2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量3,1,2,2ab，则cos,abab（）A．117B．1717C．55D．255【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,,abababab，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)ab，所以5,3,1,1abab，则225334,112abab，51312abab，所以217cos,17342abababababab.故选：B.3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.刷真题明导向【详解】解：∵222|2|||44abaabb，又∵||1,||3,|2|3,abab∴91443134abab，∴1ab故选：C.4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A．1B．1C．1D．1【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为1,1,1,1ab，所以1,1ab，1,1ab，由abab可得，0abab，即11110，整理得：1．故选：D．5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,,acbc，则t（）A．6B．5C．5D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：3,4ct,cos,cos,acbc,即931635ttcc,解得5t,故选：C6．（2023·北京·统考高考真题）已知向量ab，满足(2,3),(2,1)abab，则22||||ab（）A．2B．1C．0D．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,ab满足(2,3),(2,1)abab，所以22||||()()2(2)311ababab.故选：B7．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量,,abc，则“acbc”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OAaOBbOCcBAab,当ABOC时，ab与c垂直，，所以成立，此时ab，∴不是ab的充分条件，当ab时，0ab，∴00abccrrrrr,∴成立，∴是ab的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量,,abc满足1,2abc，且0abc，则cos,acbc（）A．45B．25C．25D．45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0abc,所以abc+=-rrr,即2222ababc,即1122abrr,所以0ab.如图,设,,OAaOBbOCc,由题知,1,2,OAOBOCOAB是等腰直角三角形,AB边上的高22,22ODAD,所以232222CDCOOD,13tan,cos310ADACDACDCD,2cos,coscos22cos1acbcACBACDACD23421510.故选:D.9．（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinPθθ，0,2，所以3cos,sinPA，cos,4sinPB，所以cos3cos4sinsinPAPB22cos3cos4sinsin13cos4sin15sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以415sin6，即4,6PAPB；故选：D二、填空题10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量(,3),(1,1)ambm．若ab，则m______________．【答案】34【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0abmm，解得34m.故答案为：34.11．（2021·全国·统考高考真题）已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为1,33,413,34ab，所以由abb可得，3134340，解得35．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,,,axybxy，121200ababxxyy，注意与平面向量平行的坐标表示区分．12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量3,1,1,0,abcakb．若ac，则k________．【答案】103.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】3,1,1,0,3,1abcakbk,,33110acack，解得103k,故答案为：103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量1122,,,pxyqxy垂直的充分必要条件是其数量积12120xxyy.13．（2021·全国·高考真题）若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.【答案】32【分析】根据题目条件，利用ab模的平方可以得出答案【详解】∵5ab∴222229225abababb∴32br.故答案为：32.14．（2022·全国·统考高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．【答案】11【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出ab，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3br，所以1cos1313abab，所以22222221311abbabbabb．故答案为：11．15．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a，b满足3ab，2abab，则b______．【答案】3【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令cabrrr，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为2abab，即222abab，则2222244aabbaabbrrrrrrrr，整理得220aab，又因为3ab，即23ab，则22223aabbbrrrrr，所以3b.法二：设cabrrr，则3,2,22cabcbabcbrrrrrrrrr，由题意可得：2222cbcbrrrr，则22224444ccbbccbbrrrrrrrr，整理得：22cbrr，即3bcrr.故答案为：3.16．（2021·全国·统考高考真题）已知向量0abc，1a，2bc，abbcca_______．【答案】92【分析】由已知可得20abc，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得22222920abcabcabbccaabbcca，因此，92abbcca.故答案为：92.三、双空题17．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E．//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF的值为____________；()DEDFDA的最小值为____________．【答案】11120【分析】设BEx，由222(2)44BEDFBEBEDFDF可求出；将()DEDFDA化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx，10,2x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，30,2,3,12BDEBDxDExDCx，//DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx，|2|1BEDF，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx，所以当310x时，()DEDFDA的最小值为1120.故答案为：1；1120.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量3,1a，,2bx，若//ab，则ab（）A．5B．5C．10D．10【答案】C【分析】根据共线先求出x，根据向量的模的坐标公式即可.【详解】因为//ab，所以320x，解得6x.所以3,16,23,1ab，223110ab.故选：C.2．（2023·河南·校联考模拟预测）设,,abc都是单位向量，且abc，则向量,ab的夹角等于（）A．6B．4C．3D．2【答案】C【分析】根据等式将c移到另一端,两边同时平方,由,,abc都是单位向量可求出,ab的夹角.【详解】由abc，可知cba，故2222caabb，所以12ab.设,ab的夹角为，即1cos2，又0π，所以π3.故选：C.3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量a在向量b上的投影向量是32b，且1,1b，则ab（）A．3B．3C．62D．62【答案】A【分析】根据向量a在向量b上的投影向量求出c