第25讲 解三角形（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第25讲解三角形（精讲）题型目录一览①正弦、余弦定理的应用②解三角形面积问题③判断三角形形状④解三角形与三角函数综合⑤解三角形的实际应用一、正余弦定理和面积公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式==2sinsinsinCabcRAB2222cosabcbcA；2222cosBbcaac；2222cosCcabab.常见变形(1)2sinaRA，2sinBbR，2sinCcR；(2)sin2aAR，sinB2bR，sinC2cR；222cosA2bcabc；222cosB2cabac；222cosC2abcab.（2）面积公式：111sinsinsin222SABCabCbcAacB1()42abcSABCabcrR（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）二、公式的相关应用（1）正弦定理的应用一、知识点梳理①边化角，角化边::sin:sin:sinabcABC②大边对大角大角对大边sinsincoscosabABABAB③合分比：b2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinabcabbcacacRABCABBCACAC（2）ABC△内角和定理：ABC①sinsin()sincoscossinCABABABcoscoscaBbA②coscos()coscossinAsinBCABAB；③在ABC中，内角ABC，，成等差数列2,33BAC.三、解三角形的实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．【常用结论】1.解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabAsinbAabababab解的个数一解两解一解一解无解2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC.题型一正弦、余弦定理的应用策略方法正余弦定理解三角形(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asinA＝bsinB＝csinC，可先求出角C及b，再求出c．(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C．(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asinA＝csinC可求出c，而通过asinA＝bsinB求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．【典例1】（单选题）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若30,2,6Aab，则B（）A．30B．60C．30或150D．60或120【答案】D【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．【详解】因为30,2,6Aab，则由正弦定理可得：16sin32sin22bABa，又ab，且30180B，所以60B或120．故选：D．二、题型分类精讲【典例2】（单选题）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若sin:sin:sin4:5:6ABC，则cosA（）A．916B．916C．34D．34【答案】D【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cosA的值.【详解】因为sin:sin:sin4:5:6ABC，由正弦定理可得::4:5:6abc，设40att，则5bt，6ct，由余弦定理可得2222222536163cos22564bcatttAbctt.故选：D.【典例3】（单选题）在ABC中，若sin3sinCA，22bac，则cosB（）A．13B．14C．23D．34【答案】C【分析】根据题意，结合正弦定理求得3ca，再由余弦定理，即可求解.【详解】因为sin3sinCA，由正弦定理可得3ca，且22bac，由余弦定理可得：2222222962cos263acbaaaBaca.故选：C．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，()(sinsin)(sinsin)acACbAB，则C（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sinsin)(sinsin)acACbAB，所以由正弦定理得()()()acacbab，即222acabb，则222abcab，故2221cos222abcabCabab，又0πC，所以π3C.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，若sin:sin:sin1:7:3ABC，则ABC最大角和最小角之和为（）A．105B．150C．135D．120【答案】D【分析】利用正弦定理，推出三条边的比值，通过余弦定理求解中间角的大小，即可得出结果.【详解】由正弦定理得，sin:sin:sin::1:7:3ABCabc，所以最大角为C，最小角为A，所以设,7,3akbkck，0k，则由余弦定理得，2222222971cos262acbkkkBack，又0,πB，所以60B，120AC.故选：D3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，1sin5A，则cos2B的值为（）A．35B．725C．45D．1825【答案】B【分析】先利用正弦定理求得sinB的值，再利用二倍角的余弦公式即可求得cos2B的值.【详解】由正弦定理可知3sin3sin5BA，2237cos2=12sin12525BB故选：B.4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2232abbc，sin22sinCB，则A＝（）A．5π6B．3π4C．2π3D．7π12【答案】B【分析】由正弦定理得到22cb，利用余弦定理得到2cos2A，求出答案.【详解】sin22sinCB，由正弦定理得22cb，因为2232abbc，所以由余弦定理得222232322cos22222bcacbccAbcbcb，因为0,πA，所以3π4A.故选：B5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则c＝（）A．4B．6C．22D．23【答案】D【分析】根据正弦定理化边为角有sincos3sinsincosBAAAB，再利用两角和与差的正弦公式有sin3sinCA，再利用正弦定理进行化角为边有323ca.【详解】因为cos3cosbAaB，根据正弦定理得sincos3sinsincosBAAAB，移项得sincossincos3sinAAABA，即sin3sinABA，即sin3sinCA，则根据正弦定理有323ca．故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角形内角和定理可得A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,πB，故sin0B，据此可得πcos0,2AA，则ππ3πππ2510BAC.故选：C.7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22()bcabc，若3a，则ABC外接圆的半径长为（）A．3B．1C．2D．12【答案】B【分析】由余弦定理结合题意可得出π3A，再由正弦定理即可求出ABC外接圆的半径长.【详解】由22()bcabc可得222bcabc，再由余弦定理可得：2221cos222bcabcAbcbc，故π3A，因为3a，所以322,sin32aRA则1R.故选：B.8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsincosABC且23c，π6A，则sinsincaCA（）A．83B．43C．8D．4【答案】D【分析】由sinsincosBCBC可得cossin0BC，求出π3C，利用正弦定理可得答案.【详解】在ABC中，由sinsincosABC可得sinsincosBCBC，即sincos+cossinsincosBCBCBC所以cossin0BC，因为,0,πBC，所以sin0C，且cos0B，所以π2B，又π6A，可得π3C，由正弦定理可得234sinsinsin32cacCAC．故选：D.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使ABC的形状唯一确定的有（）A．2,3,60abCB．1,2,30abAC．1,30,45aBCD．3,2,30abA【答案】ACD【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.【详解】对于A，由余弦定理可得2222cos7cababC，解得7c，故A正确；对于B，根据正弦定理：sinsinabAB，可得2sin2B，又因为ba，所以BA，所以4B或34，故B不正确；对于C，由三角形的内角和可知105A，又1a，利用正弦定理sinsinsinabcABC，可知,bc均有唯一值，故C正确；对于D，根据正弦定理：sinsinabAB，可得1sin3B，又因为ab，所以AB，所以B只能是锐角，故D正确；故选：ACD10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列命题中，正确的是（）A．在ABC中，若sinsinAB，则ABB．在ABC中，若5BC，sin2sinCA，则25ABC．在ABC中，若sin2sin2AB，则abD．在ABC中，sinsinsinabcABC【答案】ABD【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由𝐬𝐢𝐧𝟐𝑨=𝐬𝐢𝐧𝟐𝑩确