第26讲 复数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第26讲复数（精讲）题型目录一览①复数的有关概念②复数的四则运算③复数的模长④复数相等和共轭复数⑤复数的几何意义⑥复数的三角形式一、复数的概念①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足21i（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，其计算公式22||||zabiab二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意一、知识点梳理其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR．（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．三、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数zabi都可以表示成(cossin)ri形式，其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数zabi的辐角．(cossin)ri叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍．规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz，即0arg2z．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即111222121212(cossin)(cossin)cos()sin()ririrri．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即111112122222(cossin)cos()sin()(cossin)riririr．【常用结论】①当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii．②2222||||,zabiabzzab．题型一复数的有关概念策略方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0．(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数(1i)(2i)a是纯虚数，则实数a等于（）A．12B．12C．2D．2【答案】D【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，根据纯虚数的概念列式计算，即得答案.【详解】由题意得(1i)(2i)2(21)iaaa，因为它为纯虚数，所以20210aa，解得2a，故选：D.【题型训练】一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数42i2iz的虚部为（）A．2B．16C．2D．16【答案】C【分析】利用虚数单位的性质可求z，故可求其虚部.【详解】因为41i，故162iz，故42i2iz的虚部为2，故选：C.2．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数z满足1i1iz，则z的虚部是（）二、题型分类精讲A．2B．2iC．1D．i【答案】C【分析】根据复数的运算化简z，再根据虚部的定义求解.【详解】因为1i1iz，所以21i1i2ii1i1i1i2z,所以z的虚部是1.故选:C.3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足i13iz，则z的实部是（）A．－1B．1C．－3D．3【答案】C【分析】利用复数的四则运算可得3iz，即可知z的实部是3.【详解】由i13iz可得13i3iiz，所以z的实部是3．故选：C4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数2iz，则复数1i2zz的实部和虚部分别是（）A．3，2B．3，2iC．1，2D．1，2i【答案】C【分析】应用复数乘法运算化简复数，即可确定实部、虚部.【详解】由题意12ii212iz，则复数1z的实部和虚部分别是1和2.故选：C5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数12iiR,zaaz的实部与虚部互为相反数，则a（）A．3B．13C．2D．3【答案】D【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.【详解】12ii212izaaa，由已知得2120aa，解得3a，故选：D6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数6iR12iaza是纯虚数，则a的值为（）A．12B．12C．3D．3【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简6i12iaz，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.【详解】由题意2556i(6i)(12i)6(12)i12iaaaaz，因为复数6iR12iaza是纯虚数，故62051205aa，解得3a，故选：C7．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数2iR2iaza是纯虚数，则a（）A．-2B．2C．-1D．1【答案】D【分析】根据复数的特征，设izb（0b），再根据复数的运算，利用复数相等，列式求解.【详解】由题意设izb（0b），2ii2iazb，即2ii2i2iabbb，则22abb，解得：1,1ab.故选：D题型二复数的四则运算策略方法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．【典例1】（单选题）若复数z满足1i1zz（i为虚数单位），则z（）A．iB．iC．1iD．1i【答案】A【分析】对已知等式化简直接求解复数z【详解】由1i1zz，得ii1zz，221i1i12iii1i1i1i2z，故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数i32iz（i是虚数单位），则z=（）A．23iB．23iC．23iD．23i【答案】B【分析】根据复数乘法法则计算出结果.【详解】2i32i3i2i23iz.故选：B2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知i为虚数单位，则32i1i（）A．11i22B．11i22C．51i22D．51i22【答案】D【分析】根据复数除法法则直接计算.【详解】由题意得，32i1i32i5i51i1i1i1i222.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）12i1i（）A．33i22B．31i22C．13i22D．13i22【答案】D【分析】由复数的除法运算即可得出答案.【详解】12i1i12i13i13i1i1i1i222．故选:D.4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若i11z，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】A【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由i11z得，11iiz，所以1iz.故选：A.5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数12zi，则1zz（）A．68i55B．612i55C．412i55D．48i55【答案】C【分析】根据复数的运算即可求解.【详解】因为12iz，则1112i1241212i12i12iii12i12i12i5555zz，故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）若复数2i23iz，则z（）A．23i1313B．23i1313C．23i1313D．23i1313【答案】C【分析】由复数的除法运算即可得出答案.【详解】2222i23i23ii23i23i23i23i231313z．故选:C.7．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知2023iz，则11z（）.A．11i22B．11i22C．12D．0【答案】B【分析】根据2i1即可得到2023i的值，进而可以用复数的四则运算法则进行计算.【详解】202321011ii(i)iz，所以111i1i11i11i(1i)(1i)222z，故选：B8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数z所对应的点在第四象限，且满足2220zz，则2z（）A．1iB．1iC．2iD．2i【答案】C【分析】根据题意求出z，再根据复数z所对应的点所在象限，即可求解.【详解】因为复数z满足：2220zz，即2(1)1z，故1iz或1iz，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数1iz，所以22iz.故选:C.题型三复数的模长策略方法22||zab【典例1】（单选题）已知复数z满足43i12iz，则z（）A．15B．55C．5D．5【答案】B【分析】先由43i12iz化简计算求出复数z，从而可求出其模.【详解】由43i12iz，得212i43i43i8i6i105i21i43i43i252555z，所以22215555z，故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数1i12iz，则z（）A．2B．2C．10D．10【答案】C【分析】由复数的乘法公式和模的计算公式即可求解.【详解】因为21i12i12ii2i3iz，所以223(1)10z.故选：C.2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数z满足(2i)43iz