第27讲 数列的概念（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第27讲数列的概念（精讲）题型目录一览①数列的概念与通项公式②数列的性质③与的关系一、数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项，一般记为数列.2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.二、数列的分类nanS{}naNN分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列常数列1nnaa1nnaa1nnaa一、知识点梳理三、数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.四、数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．五、an与Sn的关系数列的前项和和通项的关系：则题型一数列的概念与通项公式策略方法数列的概念与通项公式1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列na，则该数列的第6项6a（）nannnafnnannSna11(1)(2)nnnSnaSSn1n11n按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…MnaMna二、题型分类精讲A．49B．50C．51D．52【答案】C【分析】根据图形找到五边形数的规律，即可得到通项，从而得解.【详解】依题意五边形数的第一项为231112，第二项为232252，第三项为2333122，则五边形数的第n项为2*3(N)2nnnan．所以26366512a.故选：C．【题型训练】一、单选题1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（）个球．A．12B．20C．55D．110【答案】C【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.【详解】由题意知：11a，21212aa，323123aa，1123nnaann，所以101231055a.故选：C2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第n行黑圈的个数为na，白圈的个数为nb，若144na，则nb（）A．34B．35C．88D．89【答案】D【分析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可得递推式，然后由递推式可求得结果.【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，所以有112nnnaab，11nnnbab，又因为10a，11b，所以21a，21b，33a，32b，48a，45b，521a，513b，655a，634b，7144a，789b，故选：D.3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数0a，按照上述规则实施第n次运算的结果为Nnan，若51a，且1,2,3,4iai均不为1，则0a（）A．5或16B．5或32C．5或16或4D．5或32或4【答案】B【分析】根据“角谷猜想”的规则，由51a倒推0a的值.【详解】由题知131,,2nnnnnaaaaa为奇数为偶数，因为51a，则有：若4a为奇数，则54311aa，得40a，不合题意，所以4a为偶数，则4522aa；若3a为奇数，则43312aa，得313a，不合题意，所以3a为偶数，3424aa；若2a为奇数，则32314aa，得21a，不合题意，所以2a为偶数，且2328aa；若1a为奇数，则21318aa，得173a，不合题意，所以1a为偶数，且12216aa；若0a为奇数，则103116aa，可得05a；若0a为偶数，则01232aa.综上所述：05a或32.故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，L，即*12121,3,nnnaaaaannN，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列nb，则1232023bbbb的值为（）．A．2696B．2697C．2698D．2700【答案】B【分析】列举数列nb，得到数列的周期为6求解.【详解】解：由题意得：数列nb为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以12320222023bbbbb12362023337bbbbb13378b269612697，故选：B5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列na中，12a，15nnaa，则数列na前11项的和11S（）A．22B．27C．28D．55【答案】B【分析】根据数列的递推公式求出数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3，进而求解.【详解】依题意12a，15nnaa，则125nnaa，两式相减得到2nnaa，又2153aa，所以数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3，所以11523227S，故选：B．二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）如图，第n个图形由第2n边形“扩展”而来的.记第n个图形的顶点数为(1,2,3,)na，则2005a.【答案】4030056【分析】由题意写出1a，2a，3a，4a的值，即可得出23nann，由此即可求出答案.【详解】由图易知：11234a，22045a，33056a，44267a，从而易知23nann(1,2,3)n，所以2005200720084030056a.故答案为：40300567．（2023·云南昆明·统考模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过Nnn的最简分数及0（视为01）和1（视为：11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是0111231,,,,,,1432341．则F－7的项数为．【答案】19【分析】根据Farey序列构成的数列Fn的性质，利用列举法，即可求解.【详解】根据题意Farey序列构成的数列Fn，可得7F的各项为：0111121231432534561,,,,,,,,,,,,,,,,,,1765473572753745671，共有19项，所以7F的项数为19.故答案为：19.8．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知121,2aa，且21nnnaaa（n为正整数），则2023a.【答案】1【分析】利用已知关系式推导出na是以6为周期的数列，所以根据周期性即可求出结果.【详解】因为121,2aa，且21nnnaaa，所以3211aaa，4321aaa=-=-，5432aaa，6541aaa，7651aaa=-=，8762aaa，L，所以na是以6为周期的数列，因为202363371，所以202311aa.故答案为：19．（2023·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么222212320152015aaaaa是斐波那契数列中的第项．【答案】2016【分析】根据已知条件可以得到21,nnnaaa，则2121aaa,即222312321()aaaaaaaa依次类推即可解得.【详解】斐波那契数列总有21,nnnaaa则2121aaa，即222312321()aaaaaaaa，233423423()aaaaaaaa，……，220152015201620142015201620142015()aaaaaaaa，2222123201520152016,aaaaaa∴2222123201520162015.aaaaaa故222212320152015aaaaa是斐波那契数列中的第2016项．故答案为：2016题型二数列的性质策略方法1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性判断．(2)在数列{}na中，若na最大，则11nnnnaaaa，若na最小，则11.nnnnaaaa【典例1】若数列na中，13a，142nnaan，则2021a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】推导出对任意的nN，2nnaa，可知数列na的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，即可求得2021a的值.【详解】因为13a，142nnaan，可得14nnaa，所以，112nnaan，故对任意的nN，2nnaa，所以，数列na的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，因此，202113aa.故选：C.【典例2】已知数列na的