第17练 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练：基础+重难点）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第17练任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，则18162r，即4r，又8r，故2.故选：A2．用弧度制表示终边在y轴上的角的集合，正确的是（）A．{|,kkZ}B．{|2,2kkZ}C．{|2,2kkZ}D．{|,2kkZ}【答案】D【分析】根据终边上角的集合一一表示即可.【详解】A表示终边在x轴上的角的集合；B表示终边在y轴正半轴上的角的集合；C表示终边在y轴非正半轴上的角的集合.故选：D．3．已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【分析】根据扇形的周长和弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则242lrlr，解得1,2rl.故选：A.4．集合{|?180?18045,}kkkZ中角表示的范围(用阴影表示)是图中的（）A．B．C．D．【答案】B【分析】当k取偶数时，确定角的终边所在的象限；当k取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．【详解】集合{|18018045,}kkkZ中，当k为偶数时，此集合与4|05表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与180|225表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合{|18018045,}kkkZ中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B.5．已知是第一象限角，那么（）A．2是第一、二象限角B．2是第一、三象限角C．2是第三、四象限角D．2是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得36090360kk，Zk，进而得到180451802kk，Zk，进而求解.【详解】因为是第一象限角，所以36090360kk，Zk，所以180451802kk，Zk，当k为偶数时，2是第一象限角，当k为奇数时，2是第三象限角，综上所述，2第一、三象限角.故选：B.6．已知第二象限角的终边与单位圆交于3,5Pm，则sin2（）A．1225B．2425C．1225D．2425【答案】B【分析】由三角函数的定义可求出sin，进而可求出cos，sin2.【详解】因为角的终边与单位圆交于3,5Pm，所以3sin5，又角是第二象限角，所以cos0，所以24cos1sin5，所以24sin22sincos25，故选：B.7．若costan0，则角的终边在（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【答案】C【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解.【详解】因为costan0，所以cos,tan在所在的象限一正一负，所以角的终边在第三、四象限.故选：C.8．已知角的终边上一点的坐标,2a，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（）A．costanB．sincosC．sintanD．tan【答案】A【分析】先根据定义求出sin,cos,tan，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为角的终边上一点的坐标,2a且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，22sin4a，2cos4aa，2tana，选项A，22costan04a，故选项A正确；选项B，22sincos4aa，因为a的正负不知，故选项B错误；选项C，24sintan4aa，因为a的正负不知，故选项C错误；选项D，2tana，因为a的正负不知，故选项D错误；故选：A.9．已知角α的终边上一点(,1)Pmm，且3cos5，则m等于（）A．37B．3C．-3D．37【答案】B【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】由三角函数的定义可得：223cos351mmmm.故选：B10．若是第四象限角，则点cos,tan22P在（）A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第三或第四象限D．第一或第二象限【答案】C【分析】根据给定条件确定2的范围，再求出costan22、的符号即可判断作答.【详解】因为是第四象限角，即π2π2π2kk，kZ，所以πππ42kk，kZ．当21knnZ时，3π2π+2π+π42nn，nZ，此时2是第二象限角，则cos02，tan02，点P在第三象限；当2knnZ时，π2π-2π42nn，nZ，此时2是第四象限角，则cos02，tan02，点P在第四象限．所以点P在第三或第四象限．故选：C.二、多选题11．下列说法正确的是（）A．42403B．第一象限的角是锐角C．1弧度的角比1°的角大D．锐角是第一象限的角【答案】ACD【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据像限角的定义来判断.【详解】对于A：4240240π03π18，A正确；对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如390，B错误；对于C：1°的角为π180弧度，比1弧度的角小，C正确；对于D：根据象限角的定义，可得D正确.故选：ACD.12．下列说法正确的是（）A．终边在y轴上的角的集合为π|2π,Z2kkB．若是第二象限角，则2是第一或第三象限角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4.【答案】BD【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为π|π,Z2kk，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角的范围，再求出2的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确；【详解】选项A，终边在y轴上的角的集合为π|π,Z2kk，故选项A错误；选项B，因为是第二象限角，所以π|2ππ2π,Z2kkk，故ππ|ππ,Z422kkk，当2(Z)kmm时，ππ|2π2π,Z422mmm，此时，2是第一象限角，当21(Z)kmm时，5π3π|2π2π,Z422mmm，此时，2是第三象限角，故选项B正确；选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误；选项D，由扇形面积公式212SR知，224SR，即2R，所以弧长224LR,故选项D正确.故选：BD.13．已知点(,1)Px在角的终边上，且cos2x，则x的值可以是（）A．2B．1C．3D．0【答案】CD【分析】根据三角函数定义，解得221xxx由此得解.【详解】根据三角函数定义，过(,1)Px点，则有2cos1xx又因为cos2x，则221xxx，解得0x或23x即x的值可以是0，3，故选：CD14．下列结论正确的是（）A．7π6是第三象限角B．已知角为第二象限角，且5sin5，则25cos5C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2D．终边经过点,0mmm的角的集合是π2π,Z4kk【答案】BCD【分析】A选项，根据角的定义得到7π6所在象限；B选项，根据同角三角函数平方关系结合角所在象限求出余弦值；C选项，由弧长求出半径，进而由扇形面积公式求出答案；D选项，得到终边为第一象限的角平分线，从而得到角的集合.【详解】A选项，7πππ66，是第二象限角，故A错误；B选项，根据22sincos1得，222520cos1sin1525，又因为角为第二象限角，所以25cos5，故B正确；C选项，圆心角为π3的扇形的弧长为πl，扇形的半径为33ππR，面积为113ππ3222lR，故C正确；D选项，终边经过点,0mmm，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是π2π,Z4kk，故D正确.故选：BCD三、填空题15．若点2,Py是角终边上的一点，且3sin2，则y的值是______.【答案】23【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断.【详解】由题意可得：223sin22yy，且0y，解得23y或23y（舍去），所以y的值是23.故答案为：23.16．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.【答案】128π【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，所以侧面展开图的弧长为：810π16π5.设该圆锥的底面圆的半径为r，所以2π16πr，解得8r，所以该圆锥的高221086h，所以该圆锥的体积2211ππ86128π33Vrh.故答案为：128π.17．已知的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点(4,3)(0)Pmmm是终边上一点，则2sincos等于__________.【答案】25【分析】根据三角函数的定义，求得34sin,cos55，进而求得2sincos的值.【详解】由电(4,3)(0)Pmmm是角终边上一点，可得5rOPm，根据三角函数的定义，可得34sin,cos55，所以6422sincos555.故答案为：25.18．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm，内弧线的长为18cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16cm，则该扇环的面积为______2cm.【答案】576【分析】设该扇形內弧半径为r，根据弧长公式可得r，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cmr，由弧长公式和已知可得：541618rr，解得：8cmr，则外弧半径为81624cm，所以该扇环的面积为2115424188576cm22，故答案为：576.四、解答题19．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若60，6R，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【答案】(1)2π(2)扇形周长的最小值为16，此时2【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；（2）根据扇形的面积公式求得,lR的关系，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】（1）因为π603，6R，所以扇形的弧长2πlR；（2）由扇形面积2111622SRlR，得32lR，则扇形周长为3232222216lRRRRR，当且仅当322RR，即4R时，取等号，此时，214162，所以2，所以扇形周长的最小值为16，此时2.20．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在