第35讲 空间向量的运算及其坐标表示（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第35讲空间向量的运算及其坐标表示（精讲）题型目录一览①空间向量的线性运算②空间共线、共面向量定理的应用③空间向量的数量积运算一、空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A与终点B重合时，0AB．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a．（4）空间向量的加法和减法运算①OCOAOBab，BAOAOBab．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律一、知识点梳理abba，abcabc二、空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算．当0时，a与向量a方向相同；当0时，向量a与向量a方向相反．a的长度是a的长度的倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：abab，aa．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作//ab．（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量a，b0b，//ab的充要条件是存在实数，使ab．（5）直线的方向向量l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线．对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取ABa，则式①可化为1OPOAtABOAtOBOAtOAtOB②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t，即点P是线段AB的中点时，12OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平面内，则说明向量a平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,xy，使pxayb．推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,xy，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表达式．②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的点P与点A，B，C共面；反之也成立．三、空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,ab，通常规定0,ab，如果,2ab，那么向量a，b互相垂直，记作ab．（2）数量积定义已知两个非零向量a，b，则cos,abab叫做a，b的数量积，记作ab，即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aaa．（3）空间向量的数量积满足的运算律：abab，abba（交换律）；abcabac（分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设123,,aaaa，123,,bbbb，则112233,,abababab；112233,,abababab；123,,aaaa；112233abababab；112233//0,,abbababab；1122330abababab．（2）设111,,Axyz，222,,Bxyz，则212121,,ABOBOAxxyyzz．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知123,,aaaa，123,,bbbb，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；112233abababab；112233222222123123cos,ababababaaabbb；②已知111,,Axyz，222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz，或者,dABAB．其中,dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量a在向量b上的投影为cos,abaabb．题型一空间向量的线性运算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【典例1】在空间四边形ABCD中，G为BCD△的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.(1)1132AGBECA；(2)12ABACAD.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）123322abcabc（）二、题型分类精讲A．542acB．5422abcC．53722abcD．59522abc2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜棱柱1111ABCDABCD中，AC与BD的交点为点M，ABa，ADb，1AAc，则1MC（）A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc3．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，13CMCB，PNND，设ABa，ADb，cAP，则向量MN用,,abc为基底表示为（）A．1132abcB．1162abcC．1132abcD．1162abc4．（2023·全国·高三专题练习）已知在四面体OABC中，E为OA的中点，13CFCB，若,,OAaOBbOCc，则EF（）A．112233abcB．114233abcC．121233abcD．112233abc二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，23ONOM，设OAa，OBb，OCc，则下列等式成立的是（）A．1122OMbcB．1133ANbcaC．113444APbcaD．111444OPabc三、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCDABCD中，设ABa，ADb，1AAc，若用向量a、b、c表示向量1ACuuur，则1AC．7．（2023·高三课时练习）已知在四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设OAa，OBb，OCc，则MN等于．题型二空间共线、共面向量定理的应用策略方法证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→且同过点PMP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→【典例1】已知向量(1,1,0),(1,0,2)ab，若kab与2ab平行，则实数k的值为（）A．12B．12C．2D．2【典例2】O为空间任意一点，若3148OPOAOBtOC，若A、B、C、P四点共面，则t（）A．1B．12C．18D．14【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且//ab，则实数m的值等于（）A．32B．－2C．0D．32或－22．（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中：①若向量,ab共线，则向量,ab所在的直线平行；②若向量,ab所在的直线为异面直线，则向量,ab一定不共面；③若三个非零向量,,abc两两共面，则向量,,abc共面；④已知空间的三个不共面向量,,abc，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2023·全国·高三专题练习）设向量,,OAOBOC不共面，空间一点P满足OPxOAyOBzOC，则,,,ABCP四点共面的一组数对,,xyz是（）A．111,,432B．111,,436C．131,,442D．121,,3324．（2023·全国·高三专题练习）已知2,1,3,1,4,2,7,5,abc，若,,abc三向量共面，则等于（）A．627B．9C．647D．6575．（2023·全国·高三专题练习）已知2,1,3a，1,2,3b，7,6,c，若a，b，c三向量共面，则（）A．9B．3C．9D．3二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．,,2abcabbcB．,,abacbcC．2,2,ababacD．2,63,abbac三、填空题7．（2023·高三课时练习）已知向量8,3,ax，2,6,5yb，若//ab，则x＋y的值为．8．（2023·高三课时练习）已知点(1,2,1)A，(1,3,4)B，(1,1,1)D，若2APPB，则||PD.9．（2023·高三课时练习）已知2,1,3a，1,4,2b，7,5,c．若a、b、c三向量共面，则实数．10．（2023·全国·高三专题练习）设点21,1,2Caa在点2,0,01,3,28,1,4PAB、、确定的平面上，则实数a．11．（2023·全国·高三专题练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OPOAOBOCt，若P，A，B，C四点共面，则实数t．12．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足13AMAB，14DNDC，点G在线段MN上，且满足2MGGN，若AGxAByACzAD，则xyz.13．（2023·上海·高三专题练习）在正方体1111ABCDABCD中，点M和N分别是矩形ABCD和11BBCC的中心，若点P满足DPmDAnDMkDN，其中mnkR、、，且1mnk，则点P可以是正方体表面上的点.题型三空间向量的数量积运算策略方法空间向量数量积的应用【典例1】已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求：(1)OAOB；(2)()()OAOBCACB；(3)OAOBOC．【题型训练】一、单选题1．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的棱长为1，且2BEEC，则AECD（）A．16B．16C．13D．132．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是B