第37练 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第37练直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）直线310xy的倾斜角为（）A．6B．3C．23D．56【答案】B【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.【详解】由已知得31yx，故直线斜率3k由于倾斜的范围是[)0,p，则倾斜角为3.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知点0,3M，点1,23N，则直线MN的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．135°【答案】B【分析】先由0,3M，1,23N求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线MN的斜率为k,则233310k.令直线MN的倾斜角为，则tan3，0π，π3.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为60，且l在y轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．313yxB．313yxC．31yxD．31yx【答案】C【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；【详解】解：因为直线l的倾斜角为60，所以直线l的斜率tan603k，又直线l在y轴上的截距为1，所以直线l的方程为31yx；故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:0lAxByC（A，B不同时为0），则下列说法中错误的是（）A．当0B时，直线l总与x轴相交B．当0C时，直线l经过坐标原点OC．当0AC时，直线l是x轴所在直线D．当0AB时，直线l不可能与两坐标轴同时相交【答案】D【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线:0lAxByC（A，B不同时为0）.A选项，当0B时，0A，直线方程可化为CxA，此时直线l总与x轴有交点，A选项正确.B选项，当0C时，直线方程为0AxBy，此时直线l经过原点O，B选项正确.C选项，当0AC时，0B，直线方程可化为0y，此时直线l是x轴所在直线，C选项正确.D选项，当0AB时，如10xy，直线l过点1,0,0,1，即直线l与两坐标轴同时相交，D选项错误.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：31220mxmy的倾斜角为23，则m（）A．13B．1C．32D．－1【答案】A【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【详解】因为直线l的倾斜角为23，所以斜率2tan33k.所以3321mm，解得：13m.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）若一次函数21yx所表示直线的倾斜角为，则2sin2cos的值为（）．A．45B．45C．35D．35-【答案】D【分析】由题意可得tan2=-，化简222tan1sin2costan1代入计算．【详解】21yx的斜率为2k即tan2=-222222sincoscos2tan13sin2cossincostan15故选：D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1:30lxy与直线2:10lkxy，若直线1l与直线2l的夹角是60°，则k的值为（）A．3或0B．3或0C．3D．3【答案】A【分析】先求出1l的倾斜角为120°，再求出直线2l的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.【详解】直线1:30lxy的斜率为13k，所以倾斜角为120°.要使直线1l与直线2l的夹角是60°，只需直线2l的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或3.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）设直线l的方程为cos30xyR，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．[)0,pB．,42C．3,44D．3,,4224【答案】C【分析】当cos0时，可得倾斜角为2，当cos0时，由直线方程可得斜率1tancosk，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可【详解】当cos0时，方程变为30x，其倾斜角为2，当cos0时，由直线方程可得斜率1cosk，cos1,1且cos0，,11,k，即tan,11,，又0,，3,,4224，由上知，倾斜角的范围是3,44．故选：C．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:10laxy，点(1,3)A，()2,3B，若直线l与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[4，1]B．1[4，1]C．(，1]14D．(，4]1【答案】A【分析】若直线l与线段AB有公共点，由A、B在直线l的两侧（也可以点在直线上），得(1,3)(2,3)0ff（(,)1fxyaxy）可得结论．【详解】若直线l与线段AB有公共点，则A、B在直线l的两侧（也可以点在直线上）.令(,)1fxyaxy，则有(1f，3)(2f，3)0，即(31)(231)0aa„.解得41a剟，故选：A.10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是3,44，则此直线的斜率k的取值范围是（）A．1,1B．1,00,1C．1,D．,11,【答案】D【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.【详解】当直线的倾斜角2时，直线的斜率tank，因3,44，则当[,)42时，tan1，即1k，当3(,]24时，tan1，即1k，所以直线的斜率k的取值范围是,11,.故选：D11．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy，则PAPB的取值范围是A．[5,25]B．[10,25]C．[10,45]D．[25,45]【答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)AB.设(,)Pxy，则消去m得：2230xyxy，所以点P在以AB为直径的圆上，PAPB，所以222||||10PAPBAB，令10sin,10cosPAPB，则10sin10cos25sin()4PAPB.因为0,0PAPB，所以02.所以2sin()124，1025PAPB.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PAPB，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.二、多选题12．（2023·全国·高三专题练习）已知直线sincos10xyR,则下列命题正确的是（）A．直线的倾斜角是B．无论如何变化,直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【答案】BD【分析】根据直线方程考虑的值，当取时，显然选项A错误；将原点代入直线方程；可知选项B正确，当cos0时选项C错误；求出直线和两坐标轴的交点，求出面积范围即可判断选项D正误.【详解】解:由题知,直线sincos10xyR，若2，则直线为1y，倾斜角为0,与选项A不符,故选项A错误，将原点(0,0)代入直线方程可得10不符，故选项B正确，若,2kkZ,则直线为1x,斜率不存在,故选项C错误，当直线和两坐标轴都相交时，交点为110,,,0,,cossin2kkZ，它和坐标轴围成的三角形的面积为1111112cossin2cossinsin2，1sin20,1,1sin2，故选项D正确，故选:BD13．（2023·全国·高三专题练习）已知1B，直线l的方程为10xBy，则直线l的倾斜角可能为（）A．0B．π7C．π2D．6π7【答案】CD【分析】对B分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.【详解】当0B时，则直线的斜率为10kB，所以直线的倾斜角可能为6π7，当0B时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为π2，当01B时，则直线的斜率为11kB，所以直线的倾斜角范围为ππ,42，不可能为0和π7.故选：CD.三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）若某直线经过A（3，1），B（1，23）两点，则此直线的倾斜角为.【答案】120°【分析】利用斜率公式求得斜率，进而得到倾斜角.【详解】直线的斜率2313tan13k,故倾斜角120，故答案为：120°.15．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈2,,643，则k的取值范围是．【答案】3,13,30.【解析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出k的取值范围.【详解】当6≤α4时，33≤tanα1，即33≤k1；当23≤απ时，3≤tanα0，即3≤k＜0.∴k∈3,13,30.故答案为：3,13,30.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，解决本题的关键是直线倾斜角的正切值为直线的斜率.16．（2023·全国·高三专题练习）一条直线经过点(2,3)A，并且它的倾斜角等于直线13yx的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.【答案】3330xy【解析】设直线13yx的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2，求出求直线的斜率为tan2，利用点斜式求出直线方程，化为一般式即可.【详解】设直线13yx的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2，由1333tan，且0，所以6，即所求直线的斜率为tan2t3an3，又该直线经过点(2,3)A，故所求直线方程为：33(2)yx，即3330xy.故答案为：3330xy.17．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）若直线3yx的倾斜角为α，则sin2α的值为.【答案】35【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由题可知，tan3,0,，则22222sincos2tan2363sin22sincossincostan131105.故答案为：35.18．（2023·高三课时练习）直线1:10lx和直线2:30lxy的夹角大小是【答案】6【分析】由题意分别求出两条直线的倾斜角，即可得答案．【详解】直线1:10lx的倾斜角为2，直线2:30lxy的斜率为3，倾斜角为3，∴直线1:10lx和直线2:30lxy的夹角大小为236，故答案为：6．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题.19．（2023·全国·高三专题练习）若直线10axy与连接2,3,3,2AB的线段总有公共点，则a的取值范围是.【答案】1,1,3【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足PAak或PBak，从而可求得答案【详解】得直线10axy的斜率为a，且过定点0,1P，则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足PAak或PBak，11,3PAPBkk，1a或13a，1a或13a.故答案为：1,1,320．（2023·