第38讲 两条直线的位置关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第38讲两条直线的位置关系（精讲）题型目录一览①两条直线的位置关系②两条直线的交点和距离问题③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线⑤直线的综合问题一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直11112222:0:0lAxByClAxByC1221122100且ABABBCBC12120AABB111222::lykxblykxb（斜率存在）11,22::lxxlxx（斜率不存在）1212,kkbb或1212,,xxxxxx121kk或12与kk中有一个为0，另一个不存在．二、三种距离1．两点间的距离平面上两点111222(,),(,)PxyPxy的距离公式为22121212||()()PPxxyy．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离22||.OPxy2．点到直线的距离点000(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离0022||AxByCdAB特别地，若直线为l：x=m，则点000(,)Pxy到l的距离0||dmx；若直线为l：y=n，则点000(,)Pxy到l的距一、知识点梳理离0||dny3．两条平行线间的距离已知12,ll是两条平行线，求12,ll间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0lAxByClAxByC，则1l与2l之间的距离1222||CCdAB注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4．双根式双根式22111222()fxaxbxcaxbxc型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．三、直线中的对称问题1．点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，Pxy关于点00()，Qxy的对称点为22()，Pxy，则根据中点坐标公式，有12012022xxxyyy，可得对称点22()，Pxy的坐标为0101(22)，xxyy2．点关于直线对称点11()，Pxy关于直线:0lAxByC对称的点为22()，Pxy，连接PP，交l于M点，则l垂直平分PP，所以PPl，且M为PP中点，又因为M在直线l上，故可得12121022lPPkkxxyyABC，解出22()，xy即可．3．直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4．直线关于直线对称求直线1:0laxbyc，关于直线2:0ldxeyf（两直线不平行）的对称直线3l第一步：联立12，ll算出交点00()，Pxy第二步：在1l上任找一点（非交点）11()，Qxy，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，Qxy第三步：利用两点式写出3l方程5．常见的一些特殊的对称点()，xy关于x轴的对称点为()，xy，关于y轴的对称点为()，xy．点()，xy关于直线yx的对称点为()，yx，关于直线yx的对称点为()，yx．点()，xy关于直线xa的对称点为(2)，axy，关于直线yb的对称点为(2)，xby．点()，xy关于点()，ab的对称点为(22)，axby．点()，xy关于直线xyk的对称点为()，kykx，关于直线xy=k的对称点为()，kyxk．四、直线系方程1．过定点直线系过已知点00()，Pxy的直线系方程00()yykxx（k为参数）．2．斜率为定值直线系斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）．3．平行直线系与已知直线0AxByC平行的直线系方程0AxBy（为参数）．4．垂直直线系与已知直线0AxByC垂直的直线系方程0BxAy（为参数）．5．过两直线交点的直线系过直线1111:0lAxByC与2222:0lAxByC的交点的直线系方程：111222()0AxByCAxByC（为参数）．题型一两条直线的位置关系策略方法由一般式确定两直线位置关系的方法判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设1111:0lAxByC（11,AB不全为0），2222:0lAxByC（22,AB不全为0），则：当12210ABAB时，直线12,ll相交；当1221ABAB时，12,ll直线平行或重合，代回检验；当12120AABB时，12,ll直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．二、题型分类精讲【典例1】（单选题）若直线1l：20mxy与直线2l：2(1)0xmym平行，则m的值为（）A．2或1B．1C．2或1D．2【答案】B【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.【详解】因为直线1l：20mxy与直线2l：2(1)0xmym平行则21mm，解得：2m或1m，当2m时，两直线重合，舍去；当1m时，验证满足.故选:B.【典例2】（单选题）直线1l：310mxy，2l：3220mxmy，则“0m或13”是“12ll”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由充分条件和必要条件的定义【详解】当0m时，直线1l：13y，2l：1x，两直线倾斜角分别为0和90，12ll；当13m时，直线1l的斜率为19，2l的斜率为9，1919，12ll.充分性成立，直线1l：310mxy，2l：3220mxmy，若12ll，则有0332mmm，解得0m或13m.必要性成立.所以“0m或13”是“12ll”的充要条件.故选：C【题型训练】一、单选题1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）直线1:10laxy与2:10lxay平行，则实数a（）A．1aB．1aC．1a或1D．0【答案】A【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.【详解】因为直线1:10laxy与2:10lxay平行，所以210a且10a，解得1a.故选：A.2．（2023·全国·高三对口高考）直线l过点()1,2-且与直线2340xy垂直，则l的方程是（）A．2350xyB．3270xyC．3210xyD．2380xy【答案】C【分析】求出直线l的斜率，然后利用点斜式可写出直线l的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2340xy的斜率为23，则直线l的斜率为32，因此，直线l的方程为3212yx，即3210xy.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）若平面内两条平行线1l：120xay，2l：210axy间的距离为324，则实数a（）A．2B．－2或1C．－1D．－1或2【答案】A【分析】根据直线平行，求得a的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.【详解】因为两直线1l：120xay，2l：210axy平行，可得12(1)aa且112a，解得2a或1a，当2a时，1:20lxy，2:2210lxy，即1:2240lxy，可两平行线间的距离为224132422d，符合题意；当1a时，1:220lxy，2:210lxy，即2:210lxy，可两平行线间的距离为222(1)3551(2)d，不符合题意，舍去.故选：A.4．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知直线1l：210xay，2l：10axya，则“2a”是“12//ll”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，1l：210xay，2l：10axya，若两直线平行，则211aa，解得1a或2a.当1a时，1l：210xy，2l：210,210xyxy，此时两直线重合，不符合.当2a时，1l：2210xy，2l：20xy，符合题意.所以“2a”是“12//ll”的充要条件.故选：C5．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知直线12:2210,:430lxylxny，3610lmxy：，若12ll//且13ll，则mn的值为（）A．10B．10C．2D．2【答案】C【分析】由两直线的平行与垂直求得,nm值后可得结论.【详解】由题意43221n,4n，2120m，6m，所以2mn．故选：C．6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知直线l与直线210xy垂直，若直线l的倾斜角为，则3πsinsin2（）A．35B．12C．12D．25【答案】D【分析】由题意可得tan2，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简3πsinsin2，代入即可得出单.【详解】因为直线l与直线210xy垂直，所以直线l的斜率为2，所以tan2，所以2223πsincostan2sinsinsincos2sincostan15.故选：D.7．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知,ab挝RR，则“直线210axy与直线1210axay垂直”是“0a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件，【答案】B【分析】根据两直线的位置关系、充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】直线210axy与直线1210axay垂直，即212230aaaaa，解得0a或3a.所以“直线210axy与直线1210axay垂直”是“0a”的必要不充分条件.故选：B二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线2:(1)10laaxy，其中Ra，则（）A．当1a时，直线l与直线0xy垂直B．若直线l与直线0xy平行，则0aC．直线l过定点(0,1)D．当0a时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由0x求出y的值可得直线过的定点，对于D，当0a时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.【详解】对于A，当1a时，直线l的方程为10xy，其斜率为1，而直线0xy的斜率为－1，所以当1a时，直线l与直线0xy垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线0xy平行，则211aa，解得0a或1a，所以B错误；对于C，当0x时，1y，与a无关，故直线l过定点(0,1)，所以C正确；对于D，当0a时，直线l的方程为10xy，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1l：4320xy，2l：21510mxmym（mR），则（）A．直线2l过定点23，B．当10m时，12ll∥C．当1m时，12llD．当12ll∥时，两直线1l，