第39练 圆的方程、直线与圆的位置关系（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第39练圆的方程、直线与圆的位置关系（精练）一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数,xy满足224240xyxy，则xy的最大值是（）A．3212B．4C．132D．7【答案】C【分析】法一：令xyk，利用判别式法即可；法二：通过整理得22219xy，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设xyk，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令xyk，则xky，代入原式化简得22226440ykykk，因为存在实数y，则0，即222642440kkk，化简得22170kk，解得132132k，故xy的最大值是321，法二：224240xyxy，整理得22219xy，令3cos2x，3sin1y，其中0,2π，则π3cos3sin132cos14xy，0,2，所以ππ9π,444，则π2π4，即74时，xy取得最大值321，法三：由224240xyxy可得22(2)(1)9xy，设xyk，则圆心到直线xyk的距离|21|32kd，解得132132k故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）过点0,2与圆22410xyx相切的两条直线的夹角为，则sin（）A．1B．154C．104D．64刷真题明导向【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410xyx，即2225xy，可得圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆C的切线，切点为,AB，因为222222PC，则223PAPCr，可得51036sin,cos442222APCAPC，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC，即APB为钝角，所以15sinsinπsin4APBAPB；法二：圆22410xyx的圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得222222PC，则223PAPBPCr，因为22222cos2cosPAPBPAPBAPBCACBCACBACB且πACBAPB，则336cos5510cosπAPBAPB，即3cos55cosAPBAPB，解得1cos04APB，即APB为钝角，则1coscosπcos4APBAPB，且为锐角，所以215sin1cos4；方法三：圆22410xyx的圆心2,0C，半径5r，若切线斜率不存在，则切线方程为0y，则圆心到切点的距离2dr，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx，即20kxy，则22251kk，整理得2810kk，且644600设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk，可得21212124215kkkkkk，所以1212tan151kkkk，即sin15cos，可得sincos15，则2222sinsincossin115，且π0,2，则sin0，解得15sin4.故选：B.3．（2022·北京·统考高考真题）若直线210xy是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A．12B．12C．1D．1【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为,0a，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a，解得12a．故选：A．4．（2021·北京·统考高考真题）已知直线ykxm（m为常数）与圆224xy交于点MN，，当k变化时，若||MN的最小值为2，则mA．1B．2C．3D．2【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为0,0，半径为2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为22||241mMNk，则当0k时，MN取得最小值为2242m，解得3m.故选：C.二、多选题5．（2021·全国·统考高考真题）已知直线2:0laxbyr与圆222:Cxyr，点(,)Aab，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,abr的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心0,0C到直线l的距离222rdab，若点,Aab在圆C上，则222abr，所以222=rdrab，则直线l与圆C相切，故A正确；若点,Aab在圆C内，则222abr，所以222rdrab，则直线l与圆C相离，故B正确；若点,Aab在圆C外，则222abr，所以222rdrab，则直线l与圆C相交，故C错误；若点,Aab在直线l上，则2220abr即222=abr，所以222=rdrab，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.6．（2021·全国·统考高考真题）已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当PBA最小时，32PBD．当PBA最大时，32PB【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy，即240xy，圆心M到直线AB的距离为2252541111545512，所以，点P到直线AB的距离的最小值为115425，最大值为1154105，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，22052534BM，4MP，由勾股定理可得2232BPBMMP，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是,drdr.三、填空题7．（2023·全国·统考高考真题）已知直线:10lxmy与22:14Cxy交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85”的m的一个值．【答案】2（112,2,,22中任意一个皆可以）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得224ABd，所以2182425ABCSdd△，解得：455d或255d，由2211211dmm，所以224551m或222551m，解得：2m或12m．故答案为：2（112,2,,22中任意一个皆可以）．8．（2022·天津·统考高考真题）若直线00xymm与圆22113xy相交所得的弦长为m，则m．【答案】2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】圆22113xy的圆心坐标为1,1，半径为3，圆心到直线00xymm的距离为1122mm，由勾股定理可得22322mm，因为0m，解得2m.故答案为：2.9．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围是．【答案】13,32【分析】首先求出点A关于ya对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：2,3A关于ya对称的点的坐标为2,23Aa，0,Ba在直线ya上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa，即3220axya；圆22:321Cxy，圆心3,2C，半径1r，依题意圆心到直线l的距离223342132aada，即2225532aa，解得1332a，即13,32a；故答案为：13,3210．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线210xy上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为．【答案】22(1)(1)5xy【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线210xy上，∴设点M为(,12)aa，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴2222(3)(12)(2)aaaaR，222694415aaaaa，解得1a，∴(1,1)M，5R，M的方程为22(1)(1)5xy.故答案为：22(1)(1)5xy[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210xy的交点(1,-1).5R,M的方程为22(1)(1)5xy.故答案为：22(1)(1)5xy11．（2022·全国·统考高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为．【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy．【分析】方法一：设圆的方程为220xyDxEyF，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220xyDxEyF，（1）若过0,0，4,0，1,1，则01640110FDFDEF，解得046FDE，所以圆的方程为22460xyxy，即222313xy；（2）若过0,0，4,0，4,2，则01640164420FDFDEF，解得042FDE，所以圆的方程为22420xyxy，即22215xy；（3）若过0,0，4,2，1,1，则0110164420FDEFDEF，解得083143FDE，