第8章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长为2，离心率为32.设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝a2＋m22m，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.(1)求椭圆C的方程；(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为π4的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．4.如图，抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．