专题突破卷13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）（解析版）

专题突破卷13解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）1.四边形问题1．如图，在四边形ABCD中，已知ABC的面积为222134SACABBC，记ACD的面积为2S.(1)求ABC的大小；(2)若3CDBC，设30CAD，120BCD，问是否存在常数，使得12SS成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)120(2)存在333合题意【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得tanB的值，得ABC的大小；（2）设ACB，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.【详解】（1）在ABC中，由余弦定理，2222cosACABBCABBCB，因为222131()sin42SACABBCABBCB，所以3cossinBB，即tan3B，又因为(0,180)B，所以120ABC.（2）设ACB，则120ACD，30D，60CAB，在ACD中，由正弦定理，sinsinCDACCADD，在ABC中，由正弦定理，sinsinBCACCABB，两式作商，得1sin(60)sin(30)cos(30)sin(30)4，即1sin(602)2，因为(0,120)，所以602150，45，11sin452SACBC，21sin(12045)2SACDC，假设12SS，所以1213212()2222222ACBCACDC，解得333.【点睛】设ACB，由题目中角的条件，及3CDBC，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系式进行计算.2．如图所示，在平面四边形ABCD中，150ABC，60ACD，3AB，1BC，7CD．(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求AOD△的面积．【答案】(1)7(2)35332【分析】（1）根据余弦定理在ABC中求解7AC，进而根据和差角公式可得7coscos14BCDACBACD，即可由余弦定理求解，（2）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解578AO，利用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，在ABC中，150ABC，3AB，1BC，由余弦定理得，22232cos3123172ACABBCABBCABC，所以7AC，在ABC中，17357cos1427ACB，所以21sin14ACB，所以5712137coscos14214214BCDACBACD，在BCD△中，由余弦定理可知22272cos17217714BDBCCDBCCDBCD，所以7BD．（2）由（1）可知7ACCD，又因为60ACD，所以ACD为等边三角形，所以60CAD，7AD，在BCD△中，77113cos14277BDC，所以33sin14BDC，在AOD△中，11333311coscos21421414ADOADCBDC，故53sin14ADO，所以1113531coscos2142147AODCADADO，所以43sin7AOD，在AOD△中，由正弦定理可知sinsinADAOAODADO，即74353714AO，解得578AO，所以11573353sin7228232AODSAOADOAD△．3．（2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD，ACAD，3AEEB，5DE.(1)求ADB的面积；(2)求sinBAC的值及EC的长度.【答案】(1)485(2)5sin5BAC，1511EC【分析】（1）根据勾股定理可得4AD，结合3sin5ADE再根据面积公式求解即可；（2）根据等腰三角形性质可得2AEDBAC，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得5sin5BAC，然后根据sinsinBCECBEBEC，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解EC即可.【详解】（1）∵ACAD，3AE，=5DE22=4ADDEAE，3sin5ADE，11348=sin482255ABDSDADBADB;（2）AEEB，+AEDEABEBA，4sin5AED，则233cos155AED.2AEDBAC，23cos12sin=5AEDBAC，π0,2BAC5sin5BAC，225cos1-sin=5BACBAC，又==CBDABDBAC，在BCE中，++πCBEBECBCEsinsinBCECBEBEC53254115sincoscossin555525CBEBECCBEBEC，由正弦定理可知，sinsinECBECBEBCE，53sin155sin1111525BECBEECBCE.4．如图，四边形ABCD的内角πBD，3AB，1DA，BCCD，且7AC．(1)求角B；(2)若点P是线段AB上的一点，3PC，求PA的值．【答案】(1)π3(2)2【分析】（1）设0BCCDx，在ABC、ACD分别利用余弦定理可得出关于x、cosB的方程组，解出cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）利用正弦定理可求得π2BPC，利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长.【详解】（1）设0BCCDx，在ABC中由余弦定理得22923cos7ACxxB，即226cosxxB①，又在ACD中由余弦定理得22121cos7ACxxD，即262cosxxD②，因为πBD，则coscosπcosDBB，联立①②可得2x（负值舍去），1cos2B，因为0,πB，所以π3B．（2）在PBC中，由正弦定理知，sinsinBCPCBPCB，所以32sin2sin13BCBBPCPC，又0πBPC，故π2BPC，在直角三角形PBC中，由勾股定理知，221PBBCPC，此时2PAABPB．5．如图，四边形ABCD是由ABC与正ACD拼接而成，设1AB，sin3sinBACACB.(1)当90ABC时，设BDxBAyBC，求x，y的值；(2)当150ABCo时，求线段BD的长.【答案】(1)2x，1y(2)7BD【分析】（1）由题意根据正弦定理可得BC的长，由90ABC和正ACD可求得π2BCD，再根据平面向量线性运算，2BDBCCDBCBA，进而得出x，y的值.（2）根据正弦定理和余弦定理可求出AC的长，进而得出cosBAC，sinBAC，利用余弦和差化积得到πcoscos3BADBAC，再根据余弦定理得出BD的长.【详解】（1）在ABC中，由sin3sinBACACB，可知33BCAB.由于π2ABC，π6ACB，π2BCD，2DCAC，2BDBCCDBCBA，2x，1y.（2）在ABC中，222cos7ACABBCABBCB，所以2227135cos21727BAC，3sin27BAC，π51331coscos322272727BADBAC222cosBDABADABADBAD221172177277BD.6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，,,,,EDDCCBBAAE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道2π3BCDCDEBAE，4km,3kmDEBCCD．(1)求服务通道BE的长度；(2)若3kmAE，求赛道AB的长度．【答案】(1)5(2)3732km【分析】（1）连接BD，在BCD中，由余弦定理可得BD的值，由BCCD，可得π6CBDCDB，求出π2BDE，再利用勾股定理可求BE的值．（2）根据余弦定理即可求解.【详解】（1）连接BD，∵2π3BCDCDEBAE，4kmDE，3kmBCCD，在BCD△中，由余弦定理，可得22212cos3323392BDBCCDBCCDBCD，3BD，BCCD，π6CBDCDB，又2π3CDE，π2BDE，在RtBDE△中，225BEBDDE．（2）在ABE中，22221925cos2223ABAEBEABBAEABAEAB-=,化简得23160ABAB,因为0AB,所以3732AB=.2.四边形的最值问题7．如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2ADBCAB，CDAC．(1)求CD；(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足25DPCACB，求DPCP的最大值．【答案】(1)15DC(2)210【分析】（1）设DCACt，在ACD与ACB△中分别利用余弦定理得到关于t的方程，解得即可；（2）首先求出DPC，即可得到222DCDPCP，再利用基本不等式计算可得.【详解】（1）∵//DCAB，ABBC，∴ACDCABACB，在ACD中，记DCACt，由余弦定理得222222cos2DCACADtACDDCACt，在ACB△中，222cos24ACBCABtACBACBC，由2224ttt得32480tt，即22240ttt，解得2t或15t，∵2t与梯形矛盾，舍去，又0t，∴15t，即15DC．（2）由（1）知2CADADCBCDACD，故5180ACD，36ACDACB，故5902DPCACB，在DPC△中，222DCDPCP，∵222222DPCPDPCPDC，（当且仅当DPCP时，等号成立）．∴210DPCP，故当2102DPCP时，DPCP取得最大值210．8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC区域）进行分区改造.BNC区域为蔬菜种植区，CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC区域规划为学生自主栽培区.MNC的周围将筑起护栏.已知20mAC，40mAB，60BAC，30MCN.(1)若10mAM，求护栏的长度（MNC的周长）；(2)学生自主栽培区MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)30103m(2)有，230023m【分析】（1）利用余弦定理证得AMCM，从而判断得ANC是正三角形，由此得解；（2）在ANC与ACM△中，利用正弦定理求得CN与CM关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMNS关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【详解】（1）依题意，在AMC中，20mAC，10mAM，60BAC，所以2222cos300CMAMACAMACA，则03m1CM，222ACCMAM，即AMCM，所以30ACM，又30MCN，故60ACN，所以ANC是正三角形，则20mCNANAC，10mMNANAM，所以护栏的长度（MNC的周长）为30103mCMCNMN