专题突破卷04 函数不等式恒成立问题（解析版）

专题突破卷04函数不等式恒成立问题1.判别式法1．“关于x的不等式220xaxa对xR恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．01aB．02aC．102aD．0a【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.【详解】由“关于x的不等式220xaxa对xR恒成立”，可得2(2)40aa，解得01a，则“01a”的一个充分不必要条件是102a.故选：C.2．已知不等式2440mxmx对任意实数x恒成立，则m的取值范围是（）A．10mmB．10mmC．|1mm或0mD．10mm【答案】D【分析】分0m和0m，结合二次函数的图象分析得解.【详解】①若0m,则40恒成立，满足题意；②0m,则20Δ16160mmm，010mm,∴10m.综上所述10m.故选：D3．若函数2e()xfxxaxa的定义域为R，则实数a的取值范围为______.【答案】0,4【分析】根据题意转化为20xaxa在xR恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数2e()xfxxaxa的定义域为R，即20xaxa在xR恒成立，结合一元二次方程的性质，则满足240aa，解得04a，所以实数a的取值范围为0,4.故答案为：0,44．（多选）命题“xR，2230axax恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（）A．a0B．0aC．3aD．a0或3a【答案】ACD【分析】先讨论0a和0a时求出“xR，2230axax恒成立”对应的a的范围，再利用充分不必要条件的性质即可得解.【详解】当xR，2230axax恒成立时，当0a时，30恒成立，满足题意，当0a时，20Δ4120aaa，解得03a，综上，“xR，2230axax恒成立”对应的a的范围为0,3，所以命题“xR，2230axax恒成立”是假命题时，对应的a的范围为,03,，故它的一个充分不必要条件是,03,的真子集，故ACD正确.故选：ACD.5．设m为实数，211fxmxmx(1)当3m时，解不等式0fx；(2)若不等式0fxm的解集为，求实数m的取值范围.【答案】(1){|1xx或12x}；(2)23,3【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）由题意得2110mxmxm恒成立，则10Δ0m，解不等式组可求出实数m的取值范围.【详解】（1）当3m时，22310fxxx，解得1x或12x故不等式的解集为|1xx或1}2x，（2）由题意可得，2110mxmxm恒成立，则210Δ4(1)(1)0mmmm，解得233m故m的取值范围为23,36．若不等式22253xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．1,4B．,25,C．,14,D．2,5【答案】A【分析】求出二次函数的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得其取值范围.【详解】2225144xxx，当且仅当1x时等号成立，故234aa，故14a，故选：A.2.分离参数法7．已知函数243hxxx的定义域为集合A，2cos2fxx的值域为集合B，若221,gxxaxxA的值域也为集合B.(1)求实数a的值；(2)若不等式390xxgk在1,x上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)1a(2)4,9【分析】（1）先求出集合A、集合B，分析函数gx的对称轴，对a和1的大小进行分类讨论，结合gx的单调性及值域即可求出实数a的值；（2）将（1）中解析式代入不等式中进行全分离，然后进行换元，根据换元后的函数解析式及定义域，分析函数性质求出最值，即可求得k的取值范围.【详解】（1）解：因为243hxxx，令2430xx，则2430xx，解得13x，则集合1,3A，因为1cos1x，所以2cos2fxx的值域为0,4，即集合0,4B，所以22()1,1,3gxxaax的值域为0,4，当1a时，gx在1,3上单调递增，所以min1220gxga，解得1a，与1a矛盾，故舍去；当13a时，2min10gxgaa，解得1a，故1a，此时21gxx，满足1,3x时其函数值域为0,4；当3a时，gx在1,3上单调递减，所以min31060gxga，解得533a，舍去.综上所述：1a；（2）由（1）知221gxxx，所以原不等式可化为：2323190xxxk在1,x上恒成立，即2112133xxk在1,x上恒成立，令13xt，因为1,x，所以10,3t，则不等式可化为：221211,0,3ktttt恒成立，所以只需2min1kt即可，记21htt，所以ht对称轴为1t，所以在10,3上，ht单调递减，所以min14()39hth，故49k，所以k的取值范围为4,9.8．已知定义域为R的函数1222xxbfx是奇函数.(1)求b的值；(2)若对任意的tR，不等式22220fttftk恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)1b(2)13k【分析】根据奇函数的定义求出b；先判断fx得单调性，再根据单调性和奇偶性求解不等式.【详解】（1）因为定义域为R的函数1222xxbfx是奇函数，所以0041fb，解得1b，经检验，当1b时，12111222212xxxxfx，112121112212221212xxxxxxfxfx，函数为奇函数，所以1b；（2）112121212221xxxfx，显然fx是减函数，由22220fttftk可得2222fttftk，即2222fttftk，2222tttk，232ttk.当13t时，函数232ytt有最小值为min13y，13k；综上，11,,3bk.9．设函数212xxfxp是定义域为R的偶函数.(1)求p的值；(2)若2222xxgxfxk在1,上最小值为4，求k的值；(3)若不等式24fxmfx对任意实数x都成立，求实数m的范围.【答案】(1)2p(2)6k(3)(3),【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.（2）由（1）可得()fx解析式，代入所求，即可得()gx解析式，令22xxt，可得2()22gttkt，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论32k和32k两种情况，结合题意，即可求得答案.（3）根据22222xxxx，原不等式可化为2(22)22xxxxm，令22xxt，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得()gt的最小值，即可得答案.【详解】（1）()fx是偶函数，()()fxfx恒成立，即2(1)22(1)2xxxxpp恒成立，即(2)(22)0xxp，2p.（2）由（1）知()22xxfx，222()222(22)(22)2(22)2xxxxxxxxgxkk，1,x.令22xxt，为增函数，1,x，则3,2t，2()22gttkt，3,2t，为对称轴为直线tk，开口向上的抛物线，①当32k时，()gt在3,2递增，所以min317()324gtgk，17344k，3312k（不合题意），②当32k时，2min()()2gtgkk，224k，解得6k或6k（舍去），()gx的最小值为-4时，k的值为6.（3）不等式(2)()4fxmfx，即2222(22)4xxxxm，222222xxxx，当且仅当x=1时等号成立.222224(22)22(22)222222xxxxxxxxxxxxm，令22xxt，2,t，则2()gttt，2,t，又对勾函数()gt在2,上递增，min()(2)3gtg，3m.故实数m的取值范围为(3),.10．已知二次函数()fx的最小值为1，且(0)(2)3ff.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[3,1]aa上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[1,1]x上，()yfx的图象恒在221yxm的图象上方，试确定实数m的取值范围.【答案】(1)2211fxx(2)10,3(3),1【分析】（1）根据题意，设2(1)1fxax，根据03f，求得2a，即可得到函数的解析式；（2）由函数fx在区间[3,1]aa上不单调，利用二次函数的性质，得到311aa，即可求解；（3）把在区间[1,1]上，yfx的图象恒在221yxm的图象上方，转化为不等式231mxx在区间[1,1]上恒成立，令231gxxx，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数fx是二次函数，且02ff，可得函数fx对称轴为1x，又由最小值为1，可设2(1)1fxax，又03f，即2(01)13a，解得2a，所以函数的解析式为222(1)1243fxxxx.（2）由（1）函数2243fxxx的对称轴为1x，要使fx在区间[3,1]aa上不单调，则满足311aa，解得103a，即实数a的取值范围是1(0,)3.（3）由在区间[1,1]上，yfx的图象恒在221yxm的图象上方，可得2243221xxxm在区间[1,1]上恒成立，化简得231mxx在区间[1,1]上恒成立，设函数231gxxx，则gx在区间[1,1]上单调递减∴gx在区间[1,1]上的最小值为11g，∴1m.故实数m的取值范围为：,1.11．已知函数11e1xfx，则fxfx________，若不等式221fkxfxx对1,2023x恒成立，则实数k的取值范围是________.【答案】11,【分析】判断函数1()1e1xfx的单调性，利用其解析式推出()()1fxfx，则可将原不等式转化为22()221fxkxfxfxx对[1,2023]x恒成立，即2kx对[1,2023]x恒成立，结合一次函数的性质即可求得答案.