7.3 空间角（精练）（学生版）

7.3空间角（精练）1．（2023·黑龙江哈尔滨）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，O是底面的中心，E，F分别是1CC，AD的中点，那么异面直线OE与1FD所成角的正弦值为（）A．105B．155C．45D．232．（2022·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，则直线1AD与EF所成角的余弦值是（）A．12B．63C．32D．623．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A．26B．14C．36D．244．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱111ABCABC-如图所示，4,3,5,ABBCACD为棱AB的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线1AD和1BC所成的角的余弦值为（）A．325B．25C．425D．162255．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD和侧面11ABBA均为矩形，2AB，6BC，123BB，14AC.(1)求证：1ADDC；(2)求1AC与平面11BAAB所成角的正弦值.6．（2023春·新疆伊犁）如图：已知直三棱柱111ABCABC-中，1AC交1AC于点O，12ABACAA，90BAC.(1)求证：11ACBC；(2)求二面角OBCA的正切值.7．（2023秋·黑龙江哈尔滨）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC60，2PAAD，E为AD的中点，F为PC中点．(1)求证：//EF平面PAB；(2)求二面角APDC的正弦值．8．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，2PFFO．(1)证明：EO//平面PBC；(2)求二面角APBC的余弦值．9．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，13PAABBCPC，．(1)求证：BC平面PAB；(2)求二面角APCB的大小．10．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC的中点．(1)证明：BCDA；(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．11．（2023·四川·校联考一模）如图，在四棱锥PABCD中，PAD是边长为4的等边三角形，平面PAD平面ABCD，//ADBC，60ACB，4CD，23AB(1)证明：PCAD；(2)求PB与平面PCD所成的角的正弦值．12．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC为菱形，160CBB，2ABBC，12ACAB.(1)证明：平面1ACB平面11BBCC；(2)求平面11ACCA与平面111ABC夹角的余弦值.13．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体PABCD中，AD平面PAB，点C在平面PAB的投影在线段PB上BCPC，6BP，23ABAP，2DC，CD∥平面PAB.(1)证明：平面PCD平面PAD.(2)若二面角BCDP的余弦值为714，求线段AD的长.14．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，ADAB，24ABAPDC，242PBAD，26PD，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线MN∥平面ABCD；(2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．15．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面,2ABCDPAADAB，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点P，)C，且ONOA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.1．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）二面角l中，Al，Cl，AB，CD且ABl，CDl，垂足分别为A、C，2AB，1AC，4CD，已知异面直线AB与CD所成角为60，则BD（）A．29B．13C．17或5D．29或132．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）（多选）直角ABC中2,1,ABBCD是斜边AC上的一动点，沿BD将ABC翻折到ABD，使二面角ABDC为直二面角，当线段AC的长度最小时（）A．1233BDBABCB．223BDC．直线DA与BC的夹角余弦值为55D．四面体ABCD的外接球的表面积为14π33．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）（多选）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2,,,EFG分别为11,,BCCCBB的中点，则（）A．点1A与点G到平面AEF的距离相等B．直线AF与平面11CDDC所成角的正弦值为53C．二面角FAEC的余弦值为23D．平面AEF截正方体所得的截面面积为924．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，且,PAACACBC，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,AEAF.(1)证明：PB平面AEF；(2)若2PA，三棱锥PAEF的体积是26，求直线PC与平面AEF所成角的大小.5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，,,,AEBF四点共面，且ABE和ABF△均为等腰直角三角形，90BAEAFB，平面ABCD平面AEBF，2AB.(1)求证：直线BE平面ADF；(2)求平面CBF与平面BFD夹角的余弦值；(3)若点P在直线DE上，求直线AP与平面BCF所成角的最大值.6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱111ABCABC-中，1112,2,90,ABACAAABACBACE是BC的中点，F是线段11AC上一点.(1)求证：ABEF；(2)设P是棱1AA上的动点（不包括边界），当PBC的面积最小时，求直线1PC与平面11AABB所成角的正弦值.7．（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形ABCDE中，1AEEDBDBC，BCBD，//EDAB，60EAB，沿BD将BCD△折起，使点C到F的位置，且BFBE，EGBF，如图2.(1)求证：平面GEBF平面AEG.(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为34?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.8．（2023·北京·高三景山学校校考期中）在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90ADC，1ABADPD，2CD.(1)求证：//BE平面PAD；(2)求三棱锥PBDE的体积；(3)点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为45，求PQPC.9．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，60,ADCPA平面ABCD，且2PAAB，点E是PD的中点.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为217？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.10．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥PABCDE中，//BECD，ABBEEAPDDEPCCB，60DEBCBE.(1)证明：BEAP；(2)若平面PCD平面ABCDE，平面PCB平面PEB，探索：PDAE是否为定值？若为定值，请求出PDAE的值；若不是定值，请说明理由.