5.2 三角函数的公式及应用（精讲）（学生版）

5.2三角函数的公式及应用（精讲）一．同角三角函数的基本关系1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2.商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z3.公式变形：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z．二．三角函数的诱导公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限2.诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋αk∈Z中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．“符号看象限”指的是在“k·π2＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·π2＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ6．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ四．二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α．2．公式变形(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；sinαcosα＝12sin2α；(2)升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝sinα2＋cosα22；1－sinα＝sinα2－cosα22．（3）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)五．积化和差与和差化积公式1．积化和差公式1coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]21sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]22．和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2sinα－sinβ＝2cosα＋β2sinα－β2cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sinα－β2一．常见的弦化切的结构形式1.sinα、cosα的一次齐次分式如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，解决此类问题时，用分子分母同时除以cosα，将其转化为关于tanα的式子，进而求解．2.sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos2α”，然后用分子分母同时除以cos2α将其转化为关于tanα的式子，进而求解．二．弦的和差积形式对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.三．诱导公式①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.四．角的变换（角的拼凑）1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；π4＋α＝π2－π4－α等．五．三角函数式化简弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．六．证明三角函数恒等式1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cos2α或tan45°等．考法一同角三角函数公式的知一求二【例1-1】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是第二象限角，1sin2，则cos（）A．12B．12C．32D．32【例1-2】（2023云南）已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为________．【一隅三反】1．（2023广东揭阳）α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A．15B．－15C．513D．－5132．（2023安徽）(多选)若sinα＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．tanα＝43B．cosα＝35C．sinα＋cosα＝85D．sinα－cosα＝－15考法二弦切互换【例2-1】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知π2sin3cos4，则sinsincos__________.【例2-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知πtan24，则2sin22cos______.【例2-3】（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足223sinsincos3cos5，则tan________．【一隅三反】1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知sin3cos0，则osins3c（）A．910B．910C．109D．1092．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线210xy的倾斜角为，则2cos21sin（）A．-3B．13C．19D．123．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知tan2，则1sin2cos2的值是__________．考法三弦的和积转化【例3-1】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知0,π，1sincos5，则下列结论不正确的是（）A．π,42B．4tan3C．24sin225D．24cos225【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知1sincos2，且π0,2，则cos2πsin4的值为（）A．142B．142C．144D．144【一隅三反】1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知1ππsincos,,522，则sincossincos（）A．125B．125C．1235D．12352．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）（多选）已知1sincos5，0,π，则（）A．12sincos25B．sincos1225C．7sincos5D．4tan33．（2023·北京）已知22sin2sincos1tank，且04，则用k表示sincos的值为___________.考法四诱导公式【例4-1】（2023·海南）14π23π25πsincostan343__________.【例4-2】（2022·北京·人大附中）若sincos12232sinsin2，则22sinsincos3cos（）A．110B．310C．910D．32【例4-3】（2022·陕西·西安中学）已知1(0,),sin()cos(2)4，则3sin22_______．【一隅三反】1．（2022·山东·烟台二中）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点2,2P，则3sin2cos22sin3cos等于（）A．53B．32C．13D．532．(多选)下列化简正确的是()A．tan(π＋1)＝tan1B．－α－α＝cosαC．－α＋α＝tanαD．－α－π－α－α＝13．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知角94的终边经过点(2,4)，则23sinsin()cos（）A．4B．2C．3D．9考法五和差倍角公式的运用【例5-1】（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（）A．1cos82sin52sin82cos1282B．1sin15sin30sin758C．223cos15sin152D．tan48tan7231tan48tan72【例5-2】化简：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)cos15°＋sin15°；(3)1sin10°－3sin80°；(4)315sinx＋35cosx.【一隅三反】1．（2020·湖北武汉·武汉市第一中学校考二模）计算sin133cos197cos47cos73的结果为（）A．12B．12C．32D．322．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）cos15cos105sin15sin75（）A．32B．12C．32D．123．（2022·江苏南通）（多选）下列等式成立的是（）A．21sin15cos152B．222sin22.5cos22.52C．1cos24cos36cos66cos542D．3sin40tan10324．（2021·江苏·常州市第一中学）（多选）下列命题中正确的是（）A．tan70tan503tan70tan50的值等于3B．若51tan45，则3tan2C．23tan12343sin124cos122D．1cos102sin5考法六角的拼凑【例6-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知π4sin35，则5πcos6的值为（）A．35-B．35C．45D．45【例6-2】（2023·四川·校联考模拟预测）若为锐角，且π3cos125，则πcos3（）A．210B．7210C．7210D．210【例6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知π3sin124x，则πsin23x（）A．58B．58C．134D．134【例6-4】（2022·湖南）若130,0,cos,cos2243423，则cos2（）A．33B．33C．539D．69【一隅三反】1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知π5cos513，则7πsin10（）A．513B．513C．-1213