5.1 三角函数的定义（精讲）（学生版）

5.1三角函数的定义（精讲）一．任意角1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角.3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4.象限角与轴线角易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二．弧度制1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．2．公式角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．三．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP|sinα＝yrcosα＝xrtanα＝yx定义域RRxxk,kZ2函数值在一＋＋＋二＋－－各象限的符号三－－＋四－＋－一．判断象限角的方法1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三．三角函数的定义1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．考法一任意角【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差2πD．终边相同的角的弧度都相同【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）A．π3B．π3C．5π3D．5π3【例1-3】（2023春·辽宁）下列与45终边相同角的集合中正确的是（）A．|2π45,kkZB．π|360,4kkZC．7|2ππ,4kkZD．π|π,4kkZ【一隅三反】1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（）A．角60o和角600o是终边相同的角B．第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z2kkk∣C．终边在y轴上角的集合为ππ,Z2kk∣D．第二象限角大于第一象限角2．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（）A．42403B．第一象限的角是锐角C．1弧度的角比1°的角大D．锐角是第一象限的角3．（2023·海南）设π0,2，且9的终边与角的终边相同，则sin__________.考法二扇形的弧长与面积【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为______cm2．【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（）A．4B．22C．2D．1【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值：3.14）A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m【一隅三反】1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为2m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（精确到21m）A．22mB．23mC．24mD．21m2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为A的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为135的扇形，设该扇形面积为B，则:AB为（）A．8:13B．3:8C．8:3D．11:83．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为R的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（）A．6π3B．πC．26π3D．3π2考法三三角函数的定义【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知3,4P为角α终边上一点，则sincos+=______．【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点2,5P，则2sin2cos1（）A．752B．4513C．1354D．257【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角2π3的终边上，且||2OP，则点P的坐标是（）A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，若点P从点3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q，则点Q的坐标为（）A．333,22B．333,22C．333,22D．333,22【一隅三反】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆221xy交于点05,13Ax，则πsin22（）A．119169B．144169C．119169D．1441692．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且1cos3x，则tanα=（）A．22B．24C．22D．243．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，πcos4的值为（）A．510B．55C．45D．2554．（2023秋·山东菏泽）单位圆上一点P从0,1出发，顺时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A．13,22B．31,22C．13,22D．3,221考法四三角函数值的正负判断【例4-1】（2023春·安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，855是第几象限角（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【例4-2】（2023·浙江杭州）若sintan0，且cos0tan，则角2是第（）象限角．A．二B．三C．一或三D．二或四【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且coscos22，则角2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【一隅三反】1．（2023春·辽宁）点tan2023,cos2023P位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023·广东）若满足sin0,tan0，则的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）坐标平面内点P的坐标为sin5,cos5，则点P位于第（）象限.A．一B．二C．三D．四4．（2023·四川成都）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（）A．tansin0B．sincos0C．costan0D．tansin05．（2023·全国·高三对口高考）已知角的终边落在直线3(0)yxx上，则|sin||cos|sincos__________.考法五三角函数线的应用【例5-1】（2023·天津）设02xπ≤≤，使1sin2x且2cos2x同时成立的x取值范围是（）A．π5π,66B．π7π,64C．5π7π,64D．π5π,46【例5-2】．（2023·全国·高三专题练习）如果42，那么下列不等式成立的是A．sincostanB．tansincosC．cossintanD．costansin【例5-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知1sin2a，sin6b，tan2c，则A．abcB．acbC．cabD．cba【一隅三反】1．（2023·上海）sin1,cos1,tan1的大小关系为A．tan1sin1cos1B．sin1tan1cos1C．sin1cos1tan1D．tan1cos1sin12．（2023·湖北黄冈）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲:是第三象限角，乙：1tan2.丙:tan21，丁：tan不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．（2023·广西·校联考模拟预测）sin3cos3的值所在的范围是（）A．21,2B．2,02C．20,2D．2,14．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋12cosx的定义域为__________________.5（2023·全国·高三对口高考）若点sincos,tanP在第一象限，则在0,2π内的取值范围是________．