4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）（学生版）

4.1导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）一．导数的概念1.如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或0xxy，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→000f(xx)f(x)x2.当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝limΔx→000f(xx)f(x)x二．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)（点斜式）三．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f(x)¢＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f(x)¢＝nxn－1f(x)＝sinxf(x)¢＝cosxf(x)＝cosxf(x)¢－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f(x)¢＝axlnaf(x)＝exf(x)¢＝exf(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f(x)¢＝1xlnaf(x)＝lnx(x0)f(x)¢＝1x四．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f(x)¢±g(x)¢(2)[f(x)·g(x)]′＝f(x)¢g(x)＋f(x)g(x)¢(3)2f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)¢ⅱ(g(x)≠0)五．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．一．导数概念理解f′(x)＝y′＝limΔx→000f(xx)f(x)x，x应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑二．导数运算连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：化为和、差形式，再求导复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元三．导数的几何意义120012yy1.kf(x)tan;x[0,)xx是切点的横坐标，倾斜角¢12121212llkk12.llkk两直线斜率均存在时四．在型与过型的切线方程1.在型''0'000(1)kf(x),f(x)2yf(x)求斜率：求导将切点的横坐标代入（）求切线：点斜式求切线-y=(x-x)2.过型00'0'01000110100'0002(x)y-y(x)=x-x3kyf(x)4y-y=(x)x-x（1）设点：设切点的坐标（x，y）（）求导：求函数的导数ff切点（x，y）过的点（x，y）（）列：（）点斜式：f（）3.求参（1）斜率：0kf(x)切¢（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线五．公切线法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝fx1－gx2x1－x2.法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．六．切点或切线数量1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题00000x()()()fxfxyfyxxx图像两者的分参交点个数图像是一元二次判别式不是一元二次分离参数法分离参数法步骤：参数平行轴的直线学过的函数直接画利图像有关的方程参数无参函数导数法求单调区间无用在型或过型列出关于切点的方数程参函未学过函数极值端点值或其正负考法一导数的概念及应用【例1-1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设fx为R上的可导函数，且0112lim2xffxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为（）A．2B．-1C．1D．12【例1-2】（2023湖南）如图，直线l是曲线yfx在5x处的切线，则55ff___________.【例1-3】（2023·云南）函数yfx的图象如图所示，fx是函数fx的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．235325ffffB．232553ffffC．532325ffffD．252353ffff【例1-4】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知21220222022ln2fxxxfx，则2022f（）A．2021B．2021C．2022D．2022【一隅三反】1．（2023春·河南）已知()fx是函数()fx的导函数，若0()4fx，则000(2)()limxfxxfxx（）A．2B．2C．8D．82．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）设fx为可导函数，且满足022lim12hffhh，则曲线yfx在点22f,处的切线的斜率是（）A．2B．2C．12D．123．（2023春·江苏）如图，函数yfx的图象在点2,Py处的切线是l，则(2)(2)ff（）A．3B．2C．2D．14.（2023·江西）若函数fx的导函数为fx，且满足21ln2fxfxx，则ef（）A．0B．1C．2D．42e考法二导数的运算【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数(1)18sinlnyxxx(2)2321cosyxxx；(3)21exxy．(4)2sin(13)yx；(5)2ln1yxx；【一隅三反】1．（2023春·四川）求下列函数的导数(1)2112fxxxx；(2)elnsinxfxxx(3)sincos22xyxx(4)cosexxy(5)221fxx；(6)ln41fxx；(7)322xfx(8)54fxx；考法三导数的几何意义【例3-1】（2023吉林）曲线232lnyxx=-在1x处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数3124fxxx，曲线yfx在点00,xfx处的切线的倾斜角为π4，则0x______．【例3-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线2sin2cosyxx在点π,22处的切线与直线10xay垂直，则实数a等于（）A．1B．12C．2D．2【例3-4】（2023湖南）设点P是曲线eeeexxxxy上任意一点，直线l过点P与曲线相切，则直线l的倾斜角的取值范围为______.【一隅三反】1．（2023四川）函数12fxxx在1x处切线的倾斜角为_______.2．（2023重庆）若曲线213exyxx在点1,0处的切线与2yax平行，曲线ln1xyx在点1,0处的切线与直线10xby垂直，则ab__________．3．（2023·全国·高三专题练习）已知2cos0cos2fxxfx，则曲线yfx在点33,44f处的切线的斜率为4．（2023春·河南）点P在曲线323yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是考点四在型与过型的切线方程【例4-1】（1）（2023上海）已知函数2fxx，则曲线yfx在点1,1P处的切线方程是______.（2）（2023春·河北）若2()32(3)xfxxf，则曲线fx在2x处的切线方程为【例4-2】（1）（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线2e1xy的切线，则切线方程为（2）2023·江苏南通·二模）过点1,0作曲线3yxx的切线，写出一条切线的方程_______．【例4-3】（1）（2023·江西·校联考模拟预测）若直线2yxa与曲线2lnyxb相切，则ab___________.（2）（2022·全国·模拟预测）已知函数ln()(0)fxaxa在1x处的切线过原点，则a的值为（3）（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线ykxn与曲线n1lyxx相切，则k的取值范围是【一隅三反】1.（2023吉林）函数32cosfxxx在点π3π,22处的切线的方程是__________.2．（2023·陕西咸阳）已知函数32lnfxxx，那么fx在点1,1f处的切线方程为___________．3．（2023春·上海浦东新）已知曲线323fxxx，过点(0,32)M作曲线的切线，则切线的方程为____.4．（2023吉林）已知函数323612fxxxx，则曲线yfx过点0,1的切线方程为______．5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线ykx为曲线lnyx的一条切线，则实数k的值是（）A．eB．2eC．1eD．21e6．（2023春·上海杨浦）已知,ab为实数，函数lnayxx在1x处的切线方程为40yxb，则ab的值为___________．考法五公切线【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线exy、2lnyx都相切，则直线l的方程为______．【例5-2】（2023·山西·校联考模拟预测）若直线yxa与函数()xfxe和()lngxxb的图象都相切，则ab（）A．1B．0C．1D．3【例5-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线l与曲线exy相切，切点为11,Mxy，与曲线23yx也相切，切点为22,Nxy，则122xx的值为（）A．2B．1C．0D．1【一隅三反】1．（2023·云南）已知曲线e1xfx与曲线2exgx有相同的切线，则这条切线的斜率为____.2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线(R,0)yaxbab是曲线exfx与曲线ln2gxx的公切线，则ab等于3．（2023河北）若函数2ln1fxax与21gxx的图像存在公共切线，则实数a的最大值为考点六切线条数或切点个数【例6-1】（2023福建）已知函数321334fxxx，则过点0,1可作曲线yfx的切线的条数最多为（）A．1B．2C．3D．4【例6-2】（2023·四川眉山·