10.3 平面向量的应用（精讲）（学生版）

10.3平面向量的应用（精讲）考点一夹角【例1-1】（2023·江苏）若向量2,11ab--，，，a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A．1,22,2B．2,C．1,2D．1,2【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为ABC的外心，且1AOABAC．若向量BA在向量BC上的投影向量为BC，其中34,55，则cosAOC的取值范围为（）A．13,1020B．13,510C．13,2010D．13,55【一隅三反】1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cosEMF.2．（2023春·湖南怀化）在ABC中，已知2AB，3AC，π3BAC，AC和BC边上的两条中线BM，AN相交于点P，则MPN的余弦值为3．（2023秋·山东枣庄）如图，在ABC中，已知2AB，3AC，60BAC，M是BC的中点，23ANAC，设AM与BN相交于点P，则cosMPN．考点二最值【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，90,2,AABADBCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，MCMD的最小值为（）A．32B．-1C．12D．2【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，226090ABBCCDABCADC，，，若P为边BC上的一个动点，则PAPC的最小值是（）A．1B．14C．12D．142．（2022春·辽宁大连·）设平面向量,,abc满足1,2,aba与b的夹角为2π,3且102acbc，则cr的最小值为（）A．31B．3C．31D．233．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足3BEEC，12AEBD，则AFBE的最大值为（）A．0B．23C．43D．3考点三平面向量与四心【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是ABC内一点，BMC△，AMC，AMB的面积分别为AS，BS，CS，且0ABcSMASMBSMC．以下命题正确的有（）A．若::1:1:1ABCSSS，则M为ABC的重心B．若M为ABC的内心，则0BCMAACMBABMCC．若45BAC，60ABC，M为ABC的外心，则::3:2:1ABCSSSD．若M为ABC的垂心，3450MAMBMC，则6cos6AMB【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A．已知平面向量,,OAOBOC满足OAOBOC，且0OAOBOC，则△ABC是等边三角形B．若()()0ACBCBAOAOABABACBCBABuuuruuuruuruuruuuruuuruuuuruuuuruurur?-?=，则点O为△ABC的重心C．若()()0OAOBABOBOCBC，则点O为△ABC的外心；D．若OAOBOBOCOCOA，则点O为△ABC的垂心【一隅三反】1．（2023春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS、BS、CS，则有0ABCSOASOBSOC，设O是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的是（）．A．若0OAOBOC，则O为ABC的重心B．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSC．若O为ABC（不为直角三角形）的垂心，则tantantan0BACOAABCOBACBOCD．若2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCS2．（2023春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（）A．已知(1,2)a，(1,1)b，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,0(0,)3B．已知点P在ABC所在平面内，满足PAPBPBPCPCPA，则P是ABC的重心C．已知点P在ABC所在平面内，满足||||ABACAPABAC，则点P的轨迹一定经过ABC的内心D．若平面向量a，b共线，且(0,3)a，满足2||3||ab，则||ab为5或13．（2023春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC.设O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSB．2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCSC．若O为ABC的内心，3450OAOBOC，则π2CD．若O为ABC的重心，则0OAOBOC考点四平面向量与三角函数【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在ABC中，4AB，π3B，ππ,62A，则ABACuuuruuur的取值范围是．【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，costantan2sinAABC.(1)求角B的值；(2)若2,5ac，边AC上的中点为D，求BD的长度.【一隅三反】1．（2023春·湖北）如图，在ABC中，10AB，3AC，5cos27ACB，点D，E分别在边BC，AB上，且2BDDC，CEAC，AD与CE交于点M．(1)设CBa，CAb，试用a，b表示CE；(2)求AM的长．2．（2023春·吉林长春）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且3(cos)sinbaCcA．(1)求A；(2)若1b，三角形面积3S，求BC边上的中线AD的长．3．（2023春·北京）在ABC中，D为边AC上一点，满足2CDDA，若2coscoscos()cABCbAaAC，2c，4a，则BD（）A．433B．169C．43D．23考点五平面向量证明线段垂直【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为0,Ab，,0Ba，,0Ca(且0ab)，D为AB的中点，E为ACD的重心，F为ABC的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：EFCD．【一隅三反】1．（2023春·陕西西安）已知在ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN相交于点P.(1)请用AB、AC表示向量AM；(2)设AB和AC的夹角为，若1cos4，且2ACAB，求证：CNAB.2．（2023春·上海浦东新）已知在ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且ANNB，设AM与CN相交于点P．记ABm，ACnuuurr．(1)请用m，n表示向量AM；(2)若2nm，设m，n的夹角为，若1cos4，求证：CNAB．3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点2,0F，直线1:2lx，点M到直线l的距离为d，若点M满足2MFd，记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)过点F且斜率不为零的直线m与C交于,PQ两点，设1,0A，证明：APAQ.考点六向量在物理上的应用【例6】（2023春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（）A．21km/hB．221km/hC．22km/hD．222km/h【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为2003N，则该学生的体重（单位：kg）约为（参考数据：取重力加速度大小为2g10m/s＝）（）A．603B．61C．75D．602．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力1F及与它成60°角的另一个力2F的作用.已知1F的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则2F的大小为（）A．3NB．3NC．2ND．1N23．（2023广东）（多选）在水流速度为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为123km/hB．这艘船航行速度的大小为83km/hC．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120