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10.3平面向量的应用(精练)1.(2023春·陕西西安)已知ABC中,0BABCAC,3ABACABAC,则此三角形为()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2.(2023春·福建厦门)P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点,且PBPCPM,则APAM的最大值是()A.2B.4C.5D.63.(2023春·北京石景山)如图,A,B是半径为1的圆O上的两点,且π.3AOB若C是圆O上的任意一点,则·OABC的最大值为()A.32B.14C.12D.14.(2023秋·云南大理)设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且222bcbca,若角A的内角平分线2AD,则BAAC的最小值为()A.8B.4C.16D.125.(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图,在扇形COD及扇形AOB中,2π3COD,33OCOA,动点P在CD(含端点),则PAPB的最小值是()A.112B.6C.132D.76.(2022春·甘肃白银)如图,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点,12OAOB,若OCxOAyOB,则52xy的最大值为()A.11B.13C.15D.47.(2023·北京)已知平面向量OA,OB满足2OAOB,2OAOB,点D满足 2DAOD,E为AOB的外心,则OBED的值为()A.163B.83C.83D.1638.(2023春·四川成都)(多选)给出下列命题,其中正确的选项有()A.已知(2,4)A,(1,1)B,则3,3ABB.若非零向量,ab满足||||abab,则abC.若G是ABC的重心,则点G满足条件0GAGBGCD.若ABC是等边三角形,则π,3ABBC9.(2022春·黑龙江大庆)(多选)下列说法正确的是()A.若点G是ABC的重心,则13AGABACB.已知1,2a,,1bxx,若2baa∥,则=1xC.已知A,B,C三点不共线,B,C,M三点共线,若21AMxABxAC,则12xD.已知平面向量a,b,满足3aab,且2a,1b,则向量a与b夹角的正弦值为3210.(2023·广西)已知向量1,3a,4,1b,若向量ma∥,且m与b的夹角为钝角,写出一个满足条件的m的坐标为.11.(2023·上海·高三专题练习)已知非零平面向量ab,不平行,且满足24aba,记3144cab,则当b与c的夹角最大时,ab的值为12.(2023春·湖南永州)一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地,由B地向南东30方向骑行了6km到达C地,从C地向北偏东60骑行了23km到达D地,则A,D两地的距离是km.13.(2023春·上海奉贤)已知ABC是边长为1的等边三角形,点O是ABC所在平面上的任意一点,则向量OAOCOBOC的模为.14.(2023·河南开封·统考模拟预测)折扇又名“撒扇”、“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其展开几何图是如图2的扇形AOB,其中120AOB,2OC,5OA,点E在CD上,则EAEB的最小值是.1.(2023春·江西萍乡)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且22BCACAB,则bc的取值范围为()A.23,B.23,C.0,23D.23,232.(2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,如图,已知圆O的半径2,点P是圆O内的定点,且2OP,弦,ACBD均过点P,则下列说法错误的是()A.PAPC为定值B.OAOC的取值范围是2,0C.当ACBD时,ABCD为定值D.ACBD的最大值为123.(2023春·福建泉州)(多选)如图,直线12ll∥,点A是12,ll之间的一个定点,点A到12,ll的距离分别为1和2.点B是直线2l上一个动点,过点A作ACAB,交直线1l于点,0CGAGBGC,则()A.12AGABACB.GAB△面积的最小值是23C.1AGD.GAGB存在最小值4.(2023春·山东聊城)(多选)在给出的下列命题中,正确的是()A.已知点O在ABC所在的平面内,满足OAOBOC,则点O是ABC的外心B.已知平面向量OA,OB,OC满足OAOBOAOC,ABACAOABAC,则ABC为等腰直角三角形C.已知平面向量OA,OB,OC满足(0)OAOBOCrr,且0OAOBOC,则ABC是等边三角形D.在矩形ABCD中,1AB,2AD,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若(,)APABADR,则的最大值为1.5.(2022春·重庆沙坪坝)(多选)下列论述中正确的是()A.已知平面向量a,b的夹角为3,且1abrr,cab,则c与a的夹角等于3B.对于给定的ABC,其重心为G,过点G的直线l交AB,AC与E,F,若AEAB,AFAC,则113C.在四边形ABCD中,6,8ABDC,且ABADACABADAC,则103BDD.在ABC中,若,OAOBOAOCOBOC则O是ABC外心6.(2023秋·山东日照)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,2AB,23CD,1EF,点P满足0PAPB,则PCPD的最大值为.7.(2023春·辽宁大连·)在长方形ABCD中,2AB,1BC,点P为长方形ABCD内部的动点,且0PAPB,当CP最小时,ABCP.8.(2023春·四川成都)已知非零向量a,b,c满足4a,2abb,2352cac,则对任意实数t,ctb的最小值为.10.(2023·全国·高三专题练习)定理:如图,已知P为ABC内一点,则有0PBCPACPABSPASPBSPC△△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.已知点O在ABC内部,有以下四个推论:①若O为ABC的重心,则0OAOBOC;②若O为ABC的外心,则sin2sin2sin20AOABOBCOC;③若O为ABC的内心,则0aOAbOBcOC;备注:若O为ABC的内心,则sinsinsin0AOABOBCOC也对.④若O为ABC的垂心,则tantantan0AOABOBCOC.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点P在ABC内部,满足230PAPBPCuuruuruuurr,求:ABCAPCSS的值;(2)点O为ABC内一点,若::4:3:2AOBBOCAOCSSS,设AOABAC,求实数和的值;(3)用“奔驰定理”证明推论②.
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