专题4.3 三角函数的图象与性质（解析版）

4.3三角函数的图象与性质思维导图知识点总结1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.2.辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.[常用结论]两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝tanα－tanβtan（α－β）－1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sin__αcos__α.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.[常用结论]1.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.2.升幂公式：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无[常用结论]1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.典型例题分析考向一公式的基本应用例1(1)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A.7210B.－7210C.－210D.210答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα＜0，且sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，因此，sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.(2)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A.－211B.211C.112D.－112答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.感悟提升1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考向二给值求值例2(1)(2023·淄博模拟)已知α∈－π2，0，且2cos2α＝sinα＋π4，则sin2α＝()A.－34B.34C.－1D.1答案C解析∵2cos2α＝sinα＋π4＝22(sinα＋cosα)，∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝12(cosα＋sinα)，∴(cosα＋sinα)cosα－sinα－12＝0，∴cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝12，由cosα＋sinα＝0平方可得1＋sin2α＝0，即sin2α＝－1，由cosα－sinα＝12平方可得1－sin2α＝14，即sin2α＝34，因为α∈－π2，0，所以2α∈(－π，0)，sin2α＜0，综上，sin2α＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα＝()A.1515B.55C.53D.153答案A解析因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.感悟提升给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.考向三考向四考向五基础题型训练一、单选题1．已知x∈[0，2π]，如果y=cosx是增函数，且y=sinx是减函数，那么（）A．02xB．2xC．32xD．322x【答案】C【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性即可得到结论．【详解】当[0x，2]，如果cosyx是增函数，则2x剟，若sinyx是减函数，则322x剟，若同时满足条件，则32x剟，故选：C．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．exyB．y=tanxC．y=lnxD．y=x|x|【答案】D【分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【详解】exy，lnyx不是奇函数，排除AC；tanyx定义域为ππ,Z2xxkk，而tanyx在πππ,π,Z22kkk上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；22,0,0xxfxxxxx满足fxfx，且在R上为增函数，故D正确.故选：D3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（）A．y＝xcosxB．y＝sinx－x2C．1cos2xxyD．y＝sinx＋x【答案】A【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论.【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B；对于选项C，f（x）＝1cos2xx，f（－x）＝1cos()2xx＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除C；对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数，由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除D；对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数，且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋2（k∈Z），f（23）＜0，f（π）＜0，故选项A最可能正确.故选：A.4．如果函数sin6fxx0的相邻两个零点之间的距离为6，则的值为（）A．3B．6C．12D．24【答案】B【分析】根据两个零点的距离可以求出三角函数的半个周期，再利用周期公式可以得到答案【详解】函数sin06fxx的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，,626T，故选：B.5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间π0,2上的增函数又是以π为周期的偶函数()A．2(R)yxxB．|sin|(R)yxxC．cos2(R)yxxD．sin2e(R)xyx【答案】B【分析】根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项进行逐一分析即可.【详解】对于A,函数2(R)yxx不是周期函数,所以排除A.对于B,函数|sin|(R)yxx的最小正周期为π,且根据正弦函数的图像可知在区间π0,2上为增函数,所以B正确.对于C,函数cos2(R)yxx周期为π,在区间π0,2上为减函数,所以排除C.对于D,函数sin2e(R)xyx的周期为π,在区间π0,2上是先增后减,所以排除D.故选:B.6．已知函数sin22fxxxR，下列结论错误的是（）A．函数fx是偶函数B．函数fx的最小正周期为πC．函数fx在区间π02，上单调递增D．函数fx的图象关于直线π4x对称【答案】D【分析】函数π()sin2cos22fxxx，利用余弦函数的周期、奇偶性、对称轴，单调性求解．【详解】对于函数π()sin2cos22fxxx，由于()cos(2)cos2()fxxxfx，故函数()fx是偶函数，故A正确；由()cos2fxx知，它的周期等于2ππ2，故B正确；当π02x，时，2[0,π]x，所以()cos2fxx单调递增，故C正确；令π4x，则ππ()cos042f，则π4x不是()fx的对称轴，故D错误．故选：D二、多选题7．若函数()sinfxx的最小正周期为4π，则的值可能是（）A．2B．12C．12D．-2【答案】BC【解析】根据周期公式求解即可.【详解】因为函数()sinfxx的最小正周期为4π所以221||42T，12故选：BC.【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.8．关于函数3cos213yx，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个周期为B．该函数的图象关于直线3x对称C．将该函数的图象向左平移6个单位长度得到3cos21yx的图象D．该函数在区间,66上单调递减【答案】ABD【分析】A根据周期函数定义判断，B根据函数对称条件判断，C求平移后函数表达式判断，D求出递减区间判断．【详解】解：令()3cos(2)13fxyx；对于A，因为(())3cos(2(()))13cos(22)13cos(2)1333fxxxxfx，所以A对；对于B，因为(2)3cos(2(2))13cos(2(2))13cos(2)133333fxxxxfx