专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（解析版）

4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数思维导图知识点总结1.角的概念的推广(1)定义：角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad.(2)弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.(3)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与半径为r的圆交于点P(x，y)定义正弦比值yr叫作α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝yr余弦比值xr叫作α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝xr正切比值yx(x≠0)叫作α的正切函数，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)三角函数sinα，cosα，tanα分别叫作α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数统称为α的三角函数.[常用结论]1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．象限角4．轴线角典型例题分析考向一象限角及终边相同的角例1．已知角θ在第二象限，且sinθ2＝－sinθ2，则角θ2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限答案C解析∵角θ是第二象限角，∴θ∈2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，∴θ2∈kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z，∴角θ2在第一或第三象限.又sinθ2＝－sinθ2，∴sinθ2＜0，∴角θ2在第三象限.感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.2.确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置.【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．考向二弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5(cm)时，S取得最大值，此时l＝10(cm)，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝2π3－3cm2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.考向三等分角的象限问题例3．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,kkZ，则的终边在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限【答案】A【解析】【分析】分21,knnZ和2,knnZ讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,kkZ，所以当21,knnZ时，218018045360225,nnnZ，其终边在第三象限；当2,knnZ时，21804536045,nnnZ，其终边在第一象限.综上，的终边在第一、三象限.故选：A.【方法技巧与总结】先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n的象限分布图示．考向四弧长与面积公式例4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB及其所对弦AB围成的图形．若弧田的弦AB长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin1tan1.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1ACBCBCACAOOC，所以弧AB长122sin1sin1，弧田的面积22111111222sin12tan1sin1tan1扇形AOBAOBSS，故答案为：2sin1；211sin1tan1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2（弧度制(0,2]）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法考向五三角函数定义题例5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点1,1A，则sin()6（）A．264B．264C．264D．264【答案】D【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin,cos，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6.【详解】因为角的终边过点1,1A，由任意三角形的定义知：22sin,cos22，26sin()sincoscossin6664.故选：D.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．基础题型训练一、单选题1．若角满足45360,kkZ，则角的终边落在A．第一象限B．第二象限C．第三象限.D．第四象限【答案】A【解析】直接根据象限角定义得到答案.【详解】角满足45360,kkZ，则角的终边落在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了象限角，属于简单题.2．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角,的终边分别与单位圆交于点1251313，和34,55，那么sincos（）A．3665B．313C．413D．4865【答案】B【分析】根据三角函数的定义，求得sin,cos的值，即可求解.【详解】由题意，角,的终边与单位圆分别交于点1251313，和34,55，由题意三角函数的定义，可得53sin,cos135，所以533sincos()13513.故选：B.3．已知5sin5，则44sincos的值为（）A．35B．35-C．355D．55【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】4422222222sincossincossincossincossin1sin22532sin12155..故选：B.4．已知函数cos,0()(),0xxfxfxx，则17()3f（）A．32B．12C．32D．12【答案】B【分析】根据函数解析式直接求解即可【详解】由已知得1717141411()()()()()33333fffff11885()()()()3333ffff5221()()()()cos()333332ffff，故选：B5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）A．π2B．2π2C．2πD．22π【答案】C【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解【详解】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为r，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以2lr，则2πlr，解得2π.故选：C.6．已知2129sin,cos,tan777abc,则（）.A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【分析】利用诱导公式,将三个三角函数中的角度均转换成27再比较即可.【详解】解：2122292sin,coscos2cos,tantan777777abc,274,22222sin,cos,tan172727.cab.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式及三角函数的性质,属于基础题.二、多选题7．下列结论正确的是（）A．76是第三象限角B．角的终边在直线yx上，则=4kkZC．若角的终边过点3,4P，则3cos5D．若角为锐角，则角2为钝角【答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，75266且56为第二象限角，故76为第二象限角，A错；对于B选项，根据终边相同角的表示可知角的终边在直线yx上，则=4kkZ，B对；对于C选项，由三角函数的定义可得2233cos534，C对；对于D选项，取6，则角为锐角，但23，即角2为锐角，D错.故选：BC.8．设ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是（）A．tanA与cosBB．cosB与sinCC．tan2B与cos2CD．sinC与tanAE．tan2A与sinC【答案】CE【解析】根据三角函数的符号和角的关系进行判断即可.【详解】A不满足，∵A，B的范围不确定，∴不满足条件；B不满足，cosB与sinC都有意义，但cosB不一定为正值；C满足，∵,(0,)BC，∴,0,222BC，∴C满足条件；D不满足，∵A的范围不确定，∴tanA不确定；E满足，∵0A，∴022A，∴tan02A，又∵0C，∴sin0C.综上，C，E满足题意.故选:CE.【点睛】本题考查判断三角函数值的符号，属于基础题.三、填空题9．若角60的终边上有一点(4,)Aa，则a．【答案】43【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可．【详解】由题设知：tan6034a，即43a.故答案为：4310．若扇形的周长是16cm，圆心角是360度，则扇形的面积（单位2cm）是__________.【答案】16【分析】根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式212Sr即可计算出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为rcm，圆心角弧度数为3602180，所以216rr即416r，所以4r，所以2112161622Sr.故答案为：16.【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：lr，扇形的面积公式：21122Slrr.11．已知扇形的圆心角所