专题2.7 函数模型及其应用（解析版）

2.7函数模型及其应用思维导图知识点总结知识点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.知识点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．知识点四几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点五应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．典型例题分析考向一一次函数模型的应用实例例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．解设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．即y＝0.16(20x＋2500)－0.16(10x－2500)，化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.60，所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1440(元)．所以买进400份所获利润最大，获利1440元．反思感悟一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．考向二二次函数模型的应用实例例2牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．解(1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为xm，故空闲率为1－xm，由此可得y＝kx1－xm(0xm)．(2)对原二次函数配方，得y＝－km(x2－mx)＝－kmx－m22＋km4.即当x＝m2时，y取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0x＋ym.因为当x＝m2时，ymax＝km4，所以0m2＋km4m，解得－2k2.又因为k0，所以0k2.反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．考向三幂函数与分段函数模型例3(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．答案125解析由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？解设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y＝0，0≤x1，0.5x，1≤x≤60，30，60x≤500，30＋0.15x－500，x500.①当x＝20×60＝1200，即x500时，应付y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上网时间为900分钟．③令60＝30＋0.15(x－500)，解得x＝700.故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网．反思感悟(1)处理幂函数模型的步骤①阅读理解、认真审题．②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．④转化成具体问题，给出解答．(2)应用分段函数时的三个注意点①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．考向四指数型函数模型例4目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012120100≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．考向五对数型函数模型例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5log2O10，解得O＝10个单位．(2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．考向六建立拟合函数模型解决实际问题例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．解(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得16a＋4b＋c＝90，100a＋10b＋c＝51，1296a＋36b＋c＝90，解得a＝14，b＝－10，c＝126，∴y＝14x2－10x＋126＝14(x－20)2＋26.∴当x＝20时，y有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．基础题型训练一、单选题1．函数42yx的零点是（）A．2B．(2,0)C．1,02D．12【答案】D【解析】令420yx，计算得到答案.【详解】令420yx，得12x.所以函数42yx的零点为12.故选：D【点睛】本题考查了函数的零点，属于简单题.2．函数2()2(0)fxaxaxca的一个零点为3，则它的另一个零点是（）A．1B．1C．2D．2【答案】B【解析】将零点转化为方程的解，根据韦达定理计算122xx，得到答案.【详解】设方程()0fx的两根分别为1x，2x，由根与系数的关系得1222axxa，所以方程的另一个根为1.故选：B【点睛】本题考查了函数的零点，转化为方程的解是解题的关键.3．函数()22xfxx在下列区间内一定有零点的是A．[1,0]B．[3,2]C．[1,2]D．[3,4]【答案】A【分析】利用零点存在性定理检验即可得到答案.【详解】函数22xfxx是单调递增的函数，且f(-1)=1320,22f(0)=10,由零点存在性定理可知函数在区间（-1,0）上定存在零点，故选A.【点睛】本题考查零点存在性定理的简单应用，属于基础题.4．方程20.9021xx的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案.【详解】20.9021xx的实数解的个数即函数0.9xy的图像和直线221yx的交点个数.数形结合求得0.9xy的图像和直221yx的交点个数为1故选：B【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，转化为函数的交点是解题的关键.5．函数12()3log||1xfxx的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】13()3lo1||g0xfxx得13log3||xx，