专题3.1 导数的定义、导数的运算（解析版）

3.1导数的定义、导数的运算思维导图知识点总结1．导数的概念(1)平均变化率：我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝□01f（x0＋Δx）－f（x0）Δx叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个□02确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．导数的几何意义曲线f(x)的割线P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，则割线P0P的斜率是k＝f（x）－f（x0）x－x0，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝3．导函数的概念当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝□01f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝□01α·xα－1f(x)＝sinxf′(x)＝□02cosxf(x)＝cosxf′(x)＝□03－sinxf(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝□04axlnaf(x)＝exf′(x)＝□05exf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝□061xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝□071x5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝□01f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝□02f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝□03f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．6．复合函数的导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作□01y＝f(g(x))．(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为□02y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．7．常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)熟记以下结论：①1x′＝－1x2；②1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).典型例题分析考向一导数的运算例1f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析f′(x)＝2021＋lnx＋x·1x＝2022＋lnx，故由f′(x0)＝2022，得2022＋lnx0＝2022，则lnx0＝0，解得x0＝1.知识点总结常见形式及具体求导的六种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二导数与函数的图象例2已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为()答案A解析由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，速度先由快到慢，再由慢到快，由导数的几何意义可知，f′(x)先减后增，且恒大于等于0，故符合题意的只有A.故选A.知识点总结导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点附近的变化情况.考向三求切线方程例3在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有－1－n＝1m(－e－m).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).知识点总结与切线有关的问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出曲线在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.考向四由导数的几何意义求参数的取值范围例4已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是．答案(－3，3)解析因为f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由题意得－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，则Δ＝4a2－12＜0，解得－3＜a＜3.知识点总结1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路一般是利用切点P(x0，y0)求出切线方程再转化研究．2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．基础题型训练一、单选题1．曲线1yx在点1,22处的切线方程是（）A．4yxB．44yxC．41yxD．24yx【答案】B【分析】求导21yx，得到曲线在点1,22处的斜率，写出切线方程.【详解】因为21yx，所以曲线在点1,22处斜率为4，所以曲线1yx在点1,22处的切线方程是1242yx，即44yx，故选：B2．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn（其中,!123,0!1xRnn）现用上述公式求111111(1)2!4!6!(22)!nn的值，下列选项中与该值最接近的是（）A．sin22.5B．sin33C．sin45D．sin57【答案】B【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到111111(1)sin12!4!6!(22)!2nn，求解即可.【详解】因为357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn（其中,!123,0!1xRnn），且sincosxx，所以对357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn两边分别求导可得：246212cos1(1)2!4!6!(22)!nnxxxxxn.令x=1可得：11111cos11(1)2!4!6!(22)!nn.又cos1sin12，则111111801(1)sin1sin0.57sin0.57sin32.7sin332!4!6!(22)!2nn.故选：B3．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当,0x时，2xfxeexa，则函数fx在1x处的切线方程为（）A．0xyB．10exyeC．+10exyeD．0xy【答案】B【分析】利用(0)0f先求出a的值，设(0,)x，根据已知条件求出()fx，再利用奇函数，求出()fx在(0,)上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．【详解】解：由题意得，(0)100fa，解得1a，当(x，0]时，2()1xfxeex，设(0,)x，则0x，2()1xfxeex，()fx是定义在R上的奇函数，2()()1xfxfxeex，此时(0,)x，()2xfxeex，1fe，把1x代入2()1xfxeex得，11f，则切点为(1,1)，所求的切线方程为：1(1)yex，化简得10exye，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．4．已知函数()ln1afxxx的图象在点(2,(2))f处的切线与直线210xy平行，则实数aA．2B．2C．4D．4【答案】D【分析】求导得fx=21axx，由f122列式得a的方程求解即可【详解】由题fx=2111,2242aafxx,解得a=4故选D【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题5．已知某质点做变速直线运动，位移S（m）与时间t（s）的关系为ln21Sttt，则t＝1时．该质点瞬时速度的大小为（）A．1m/sB．43m/sC．53m/sD．2m/s【答案】C【分析】利用导数的运算法则求解.【详解】解：由题意得2121Stt，所以t＝1时，该质点的瞬时速度为53m/s．故选：C．6．已知函数3221fxxmxnx，fx是函数fx的导数，且函数fx的图象关于直线23x对称，若1fx在1,上恒成立，则实数n的取值范围为（）A．1,2B．1,2C．1,2D．,【答案】C【分析】依题意可得2()322fxxmxn，因为()fx的图象关于直线23x对称，求得m的值，再根据1fx在1,上恒成立，分离参数，构造新的函数，根据新函数的最值即可得出答案.【详解】解：依题意可得2()322fxxmxn，因为()fx的图象关于直线23x对称，所以2263m，解得2m，故32()221fxxxnx，因为在[1，]上()1fx恒成立，即322211xxnx，所以21(2)2nxx在[1，]上恒成立，令21()(2)2gxxx，则函数()gx在[1，]上单调递减，所以函数()gx在[1，]上的最大值为112g，所以12n，故实数n的取值范围为1[,)2．故选：C．二、多选题7．已知函数esinxfxax，π,x，则下列说法正确的是（）A．对任意0a，fx均存在零点B．当1a时，fx有两条与x轴平行的切线C．存在0a，fx有唯一零点D．当1a时，fx存在唯一极小值点0x，且010f