专题14 立体几何常见压轴小题全归纳（9大核心考点）（讲义）（解析版）

专题14立体几何常见压轴小题全归纳【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................5.............................................................................................................................................11考点一：球与截面面积问题...................................................................................................................................11考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题.............................................................................................13考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题.............................................................................................20考点四：立体几何中的交线问题...........................................................................................................................23考点五：空间线段以及线段之和最值问题............................................................................................................27考点六：空间角问题..............................................................................................................................................30考点七：轨迹问题..................................................................................................................................................35考点八：以立体几何为载体的情境题....................................................................................................................39考点九：翻折问题..................................................................................................................................................41高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．考点要求考题统计考情分析球与截面面积问题2021年天津卷第6题，5分2018年I卷第12题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．（2）热点是简单几何体的表面积或体积，最短路径问题，截面问题．最值与范围问题2023年甲卷第16题，5分2022年乙卷第9题，5分2022年I卷第8题，5分2021年上海卷第9题，5分角度问题2023年天津卷第8题，5分2023年乙卷第9题，5分2022年浙江卷第8题，4分2022年甲卷第9题，5分1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13VSh，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为222Rrd．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模coscoscos（为平面的斜线与平面内任意一条直线l所成的角，为该斜线与该平面所成的角，为该斜线在平面上的射影与直线l所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．1．（2023•天津）在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为()A．19B．29C．13D．49【答案】B【解析】在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，所以13PMAPACSS，设N到平面PAC的距离1d，B到平面PAC的距离2d，则1223dd，则三棱锥PAMN的体积为121112233339PAMPACPAMNNAPMBPACVVSdSdV三棱锥三棱锥三棱锥．故三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为29．故选：B．2．（2023•乙卷）已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD为等边三角形，若二面角CABD为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A．15B．25C．35D．25【答案】C【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得ABCE，ABDE，二面角CABD的平面角为150CED，ABCE，ABDE，且CEDEE，AB平面CED，又AB平面ABC，平面CED平面ABC，CD在平面ABC内的射影为CE，直线CD与平面ABC所成角为DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得1CE，3DE，又30DEH，32DH，32EH，35122CH，332tan552DHDCECH．故选：C．3．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()A．3B．4C．9D．12【答案】B【解析】如图，设球O的半径为R，由题意，343233R，可得2R，则球O的直径为4，两个圆锥的高之比为1:3，11AO，13BO，由直角三角形中的射影定理可得：213r，即3r．这两个圆锥的体积之和为21(3)(13)43V．故选：B．4．（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A．334B．233C．324D．32【答案】B【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长22，截此正方体所得截面最大值为：232336()424．故选：A．5．（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122B．12C．82D．10【答案】B【解析】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的