专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（9大核心考点）（讲义）（解析版）

专题09数列的通项公式、数列求和及综合应用【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................6.............................................................................................................................................12考点一：等差、等比数列的基本量问题................................................................................................................12考点二：证明等差等比数列...................................................................................................................................14考点三：等差等比数列的交汇问题.......................................................................................................................19考点四：数列的通项公式......................................................................................................................................22考点五：数列求和..................................................................................................................................................29考点六：数列性质的综合问题...............................................................................................................................37考点七：实际应用中的数列问题...........................................................................................................................41考点八：以数列为载体的情境题...........................................................................................................................43考点九：数列的递推问题......................................................................................................................................45数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考点要求考题统计考情分析等差、等比数列2023年甲卷第5、13题，10分2022年乙卷第13题，5分2021年II卷第17题，10分2023年II卷第8题，5分【命题预测】2024年高考将重点考查：①由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前n项和nS与na关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.②数列求和部分仍将重点裂项相消法和错位相减法及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题．数列通项2023年乙卷第18题，12分2023年II卷第18题，12分2022年I卷第17题，10分2022年上海卷第21题，18分数列求和2023年甲卷第17题，12分2022年甲卷第18题，12分2021年I卷第16题，5分2021年乙卷第19题，12分2021年I卷第17题，10分1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列na满足1nnaad（常数）（2n≥，nN）不能判断数列na为等差数列，需要补充证明21aad；2、数列na满足212nnnaaa*nN，则na是等差数列；3、数列nb满足1nnbqb*nN，q为非零常数，且10b，则nb为等比数列；4、在处理含nS，na的式子时，一般情况下利用公式na1*1,1,2,nnSnSSnnN≥且，消去nS，进而求出na的通项公式；但是有些题目虽然要求na的通项公式，但是并不便于运用nS，这时可以考虑先消去na，得到关于nS的递推公式，求出nS后再求解na．5、遇到形如1()nnaafn的递推关系式，可利用累加法求na的通项公式，遇到形如1()nnafna的递推关系式，可利用累乘法求na的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1nnapaq（1p，0q），可变形为111nnqqapapp，则1nqap是以11qap为首项，以p为公比的等比数列，由此可以求出na；（2）形如11nnnapaq（1p，0q），此类问题可两边同时除以1nq，得111nnnnaapqqq，设nnnabq，从而变成1nb1npbq，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11nnnnqapaaa，可以考虑两边同时除以1nnaa，转化为11nnqpaa的形式，设1nnba，则有11nnqbpb，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：11nknknnk，1111()nnkknnk，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1nnnn；（2）1111(21)(21)22121nnnn；（3）1111(2)22nnnn；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3nnnnnnnn．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若nnnabc，且nb，nc为等差或等比数列，可采用分组求和法求na的前n项和；（2）通项公式为,,nnnbnacn奇数偶数，其中数列nb，nc是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列na中，若2mnstk（m，n，s，t，kN），则2mnstkaaaaa．在等比数列na中，若2mnstk（m，n，s，t，kN），则2mnstkaaaaa．12、前n项和与积的性质（1）设等差数列na的公差为d，前n项和为nS．①nS，2nnSS，32nnSS，…也成等差数列，公差为2nd．②nSn也是等差数列，且122nSddnan，公差为2d．③若项数为偶数2k，则SSkd奇偶，1kkSaSa偶奇．若项数为奇数21k，则1kSSa奇偶，1SkSk奇偶．（2）设等比数列na的公比为q，前n项和为.nS①当1q时，nS，2nnSS，32nnSS，…也成等比数列，公比为.nq②相邻n项积nT，2nnTT，32nnTT，…也成等比数列，公比为nnq2nq．③若项数为偶数2k，则2111kaqSSq奇偶，1SSq奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列na和nb均是等差数列，且等差数列na的公差为d，，为常数．①na的等距子数列2,,,mmkmkaaa*,kmN也是等差数列，公差为kd．②数列na，nnab也是等差数列，而na是等比数列．（2）设数列na和nb均是等比数列，且等比数列na的公比为q，为常数．①na的等距子数列2,,,mmkmkaaa也是等比数列，公比为kq．②数列(0)na，(0)na，na，nnab，nnab，mna也是等比数列，而logana010naaa，，是等差数列．1