专题07 函数与导数常考压轴解答题（12大核心考点）（讲义）（解析版）

专题07函数与导数常考压轴解答题【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4.............................................................................................................................................16考点一：含参数函数单调性讨论...........................................................................................................................16考点二：导数与数列不等式的综合问题................................................................................................................18考点三：双变量问题..............................................................................................................................................23考点四：证明不等式..............................................................................................................................................27考点五：极最值问题..............................................................................................................................................31考点六：零点问题..................................................................................................................................................36考点七：不等式恒成立问题...................................................................................................................................40考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题............................................................................................................44考点九：利用导数解决一类整数问题....................................................................................................................49考点十：导数中的同构问题...................................................................................................................................53考点十一：洛必达法则..........................................................................................................................................58考点十二：导数与三角函数结合问题....................................................................................................................60本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算量不低.可以说，只要考生啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养.考点要求考题统计考情分析不等式2023年I卷第19题，12分2023年甲卷第21题，12分2023年天津卷第20题，16分2022年II卷第22题，12分【命题预测】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值；（2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题；（4）函数不等式的证明．（5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．极最值2023年乙卷第21题，12分2023年II卷第22题，12分恒成立与有解2022年北京卷第20题，12分2021年天津卷第20题，16分2020年I卷第21题，12分零点问题2022年甲卷第21题，12分2022年I卷第22题，12分2022年乙卷第20题，12分1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)Fxfxfxx，若证2120xxx，则令02()()()xFxfxfx．（3）判断单调性，即利用导数讨论()Fx的单调性．（4）比较大小，即判断函数()Fx在某段区间上的正负，并得出()fx与0(2)fxx的大小关系．（5）转化，即利用函数()fx的单调性，将()fx与0(2)fxx的大小关系转化为x与02xx之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122xxf的符号问题，还需进一步讨论122xx与x0的大小，得出122xx所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2、应用对数平均不等式12121212lnln2xxxxxxxx证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212lnlnxxxx；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．1．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()xfxaeax．（1）讨论()fx的单调性；（2）证明：当0a时，3()22fxlna．【解析】（1）()()xfxaeax，则()1xfxae，①当0a„时，()0fx恒成立，()fx在R上单调递减，②当0a时，令()0fx得，1xlna，当1(,)xlna时，()0fx，()fx单调递减；当1(xlna，)时，()0fx，()fx单调递增，综上所述，当0a„时，()fx在R上单调递减；当0a时，()fx在1(,)lna上单调递减，在1(lna，)上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当0a时，2111()()()1minfxflnaalnalnaaaa，要证3()22fxlna，只需证23122alnalna，只需证2102alna，设g（a）212alna，0a，则g（a）21212aaaa，令g（a）0得，22a，当2(0,)2a时，g（a）0，g（a）单调递减，当2(2a，)时，g（a）0，g（a）单调递增，所以g（a）21212()022222glnln…，即g（a）0，所以2102alna得证，即3()22fxlna得证．2．（2023•乙卷）已知函数1()()(1)fxalnxx．（1）当1a时，求曲线()yfx在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线1()yfx关于直线xb对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；（3）若()fx在(0,)存在极值，求a的取值范围．【解析】（1）1a时，f（1）0，2111()(1)(1)()1fxlnxxxx，f（1）2ln，曲线()yfx在点(1，f（1）)处的切线方程为2(1)ylnx．（2）11()()()xfxalnxx，定义域为(，1)(0，)，要使函数1()fx的图像关于xb对称，则由0x，且1x，可知12b，即11()()()xfxalnxx的图像关于12x对称，则f（1）(1)2aln，1(2)(2)(2)22falnaln，得12aa，解得12a．综上，12a，12b；（3）由函数的解析式可得2111()()(1)()1fxlnxaxxx，由()fx在区间(0,)存在极值点，则()fx在区间(0,)上存在变号零点，令2111()(1)()01lnxaxxx，则2(1)(1)()0xlnxxax