专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题（9大核心考点）（讲义）（解析版）

专题04灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................6.............................................................................................................................................11考点一：函数单调性的综合应用...........................................................................................................................11考点二：函数的奇偶性的综合应用.......................................................................................................................13考点三：已知f(x)=奇函数+M...............................................................................................................................17考点四：利用轴对称解决函数问题.......................................................................................................................19考点五：利用中心对称解决函数问题....................................................................................................................22考点六：利用周期性和对称性解决函数问题........................................................................................................24考点七：类周期函数..............................................................................................................................................28考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.....................................................................................31考点九：函数性质的综合......................................................................................................................................35从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．考点要求考题统计考情分析函数的性质2023年新高考II卷第4题，5分2023年新高考I卷第4题，5分2022年乙卷第12题，5分2022年新高考II卷第8题，5分2021年甲卷第12题，5分2021年新高考II卷第8题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．（2）热点是单调性、奇偶性、对称性结合在一起．1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x，2x是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()fx是增函数，则()fx为减函数；若()fx是减函数，则()fx为增函数；②若()fx和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx为增（或减）函数；③若()0fx且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数；④若()0fx且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数()fx的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()yfx在0x处有意义，则有(0)0f；偶函数()yfx必满足()(||)fxfx．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2gxfxfx，1()[()()]2hxfxfx，则()()()fxgxhx．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶．（7）复合函数[()]yfgx的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01xxafxmxa()或函数1()()1xxafxma．②函数()()xxfxaa．③函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm④函数2()log(1)afxxx或函数2()log(1)afxxx．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1xmfxmxa或函数2()()1xmfxmmRa．偶函数：①函数()()xxfxaa．②函数()log(1)2mxamxfxa．③函数(||)fx类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yfx有两条对称轴xa，()xbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba．5、对称性技巧（1）若函数()yfx关于直线xa对称，则()()faxfax．（2）若函数()yfx关于点()ab，对称，则()()2faxfaxb．（3）函数()yfax与()yfax关于y轴对称，函数()yfax与()yfax关于原点对称．1．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21xfxxalnx为偶函数，则(a)A．1B．0C．12D．1【答案】B【解析】由21021xx，得12x或12x，由()fx是偶函数，()()fxfx，得2121()()2121xxxalnxalnxx，即2121()()2121xxxalnxalnxx，即12121()()()2121xxxalnxalnxx，则2121()()2121xxxalnxalnxx，xaxa，得aa，得0a．故选：B．2．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2xxafx在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A．(，2]B．[2，0)C．(0，2]D．[2，)【答案】D【解析】设2()txxaxax，对称轴为2ax，抛物线开口向上，2ty是t的增函数，要使()fx在区间(0,1)单调递减，则2txax在区间(0,1)单调递减，即12a…，即2a…，故实数a的取值范围是[2，)．故选：D．3．（2023•乙卷）已知()1xaxxefxe是偶函数，则(a)A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】()1xaxxefxe的定义域为{|0}xx，又()fx为偶函数，()()fxfx，11xxaxaxxexeee，11axxxaxaxxexeee，axxx，2a．故选：D．4．（2022•乙卷）已知函数()fx，()gx的定义域均为R，且()(2)5fxgx，()(4)7gxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，g（2）4，则221()(kfk)A．21B．22C．23D．24