专题14 立体几何常见压轴小题全归纳（练习）（解析版）

专题14立体几何常见压轴小题全归纳目录01球与截面面积问题...........................................................................................................................102体积、面积、周长、角度、距离定值问题.....................................................................................503体积、面积、周长、距离最值与范围问题...................................................................................1504立体几何中的交线问题.................................................................................................................2305空间线段以及线段之和最值问题..................................................................................................2606空间角问题....................................................................................................................................3007轨迹问题........................................................................................................................................3808以立体几何为载体的情境题..........................................................................................................4509翻折问题........................................................................................................................................4701球与截面面积问题1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角PABC--的大小为3π4，球O与直线AB相切，且平面PAB、平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1、2，则球O半径的最大可能值为（）A．2B．22C．3D．10【答案】D【解析】设点O在平面PAB、平面ABC内的射影点分别为M、N，设球O切AB于点E，连接ME、NE、MN，如下图所示：因为OM平面PAB，AB平面PAB，则ABOM，由球的几何性质可知，OEAB，因为OMOEO，OM、OE平面OME，则AB平面OME，同理可知，AB平面ONE，因为过点E作直线AB的垂面，有且只有一个，所以，平面OME、平面ONE重合，因为OM平面PAB，ME平面PAB，则OMME，同理可知，ONNE，所以，O、M、E、N四点共圆，由已知条件可知，1ME，2NE，因为AB平面OME，NE、ME平面OME，则ABME，ABNE，所以，二面角PABC--的平面角为MEN或其补角.①当3π4MEN时，由余弦定理可得2223π22cos1221242MNMENEMENE5，故5MN，易知，OE为MNE外接圆的一条弦，所以，球O半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为510sin22MNMEN；②当π4MEN时，由余弦定理可得222π22cos12212142MNMENEMENE故1MN，易知，OE为MNE外接圆的一条弦，所以，球O半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为12sin22MNMEN.综上所述，球O的半径的最大可能值为10.故选：D.2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，21,OO为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（）A．2πB．13π5C．14π5D．16π5【答案】D【解析】由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，过O作1OGDO于G，如图所示：则由题可得124252525OG，设平面DEF截得球的截面圆的半径为1r，当EF在底面圆周上运动时，O到平面DEF的距离1,dOG所以22221114164455rrdd所以平面DEF截得球的截面面积最小值为16π5，故D正确；故选：D.3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．3π4B．2π3C．π2D．π4【答案】A【解析】如图：1O是A在底面的射影，由正弦定理得，BCD△的外接圆半径311sin602r.由勾股定理得棱锥的高1211AO设球O的半径为R，则2211RR，解得1R，所以10OO，即1O与O重合，所以当过点E作球O的截面垂直于OE时，截面面积最小，此时截面半径为32BE，截面面积为3π4.故选：A.4．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体1111ABCDABCD中，2,,ABMN分别为,ADBC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面1AMN截球O得到的截面圆的面积为（）A．6π5B．7π5C．12π5D．14π5【答案】D【解析】如图，连接1BN，由题意易知11MNAB，11MNAB，故四边形11ABNM为平行四边形.设11BCBCH，取11BC的中点K，连接NK，在Rt1BKN中，115,1,2BNBKNK，故点K到1BN的距离为255，故点H到1BN的距离为55，因此圆心O到平面1AMN的距离为55.由题易知球O的半径3R，故平面1AMN截球O得到的截面圆的半径170355r，故截面圆的面积214ππ5Sr.故选：D02体积、面积、周长、角度、距离定值问题5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中[0，1]，[0，1]，则()A．当1时，△1ABP的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【答案】BD【解析】对于A，当1时，1BPBCBB，即1CPBB，所以1//CPBB，故点P在线段1CC上，此时△1ABP的周长为11ABBPAP，当点P为1CC的中点时，△1ABP的周长为52，当点P在点1C处时，△1ABP的周长为221，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当1时，1BPBCBB，即1BPBC，所以1//BPBC，故点P在线段11BC上，因为11//BC平面1ABC，所以直线11BC上的点到平面1ABC的距离相等，又△1ABC的面积为定值，所以三棱锥1PABC的体积为定值，故选项B正确；对于C，当12时，取线段BC，11BC的中点分别为M，1M，连结1MM，因为112BPBCBB，即1MPBB，所以1//MPBB，则点P在线段1MM上，当点P在1M处时，1111AMBC，111AMBB，又1111BCBBB，所以11AM平面11BBCC，又1BM平面11BBCC，所以111AMBM，即1APBP，同理，当点P在M处，1APBP，故选项C错误；对于D，当12时，取1CC的中点1D，1BB的中点D，因为112BPBCBB，即DPBC，所以//DPBC，则点P在线的1DD上，当点P在点1D处时，取AC的中点E，连结1AE，BE，因为BE平面11ACCA，又1AD平面11ACCA，所以1ADBE，在正方形11ACCA中，11ADAE，又1BEAEE，BE，1AE平面1ABE，故1AD平面1ABE，又1AB平面1ABE，所以11ABAD，在正方体形11ABBA中，11ABAB，又11ADABA，1AD，1AB平面11ABD，所以1AB平面11ABD，因为过定点A与定直线1AB垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP，故选项D正确．故选：BD．6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱111ABCABC的各条棱的长度均相等，D为1AA的中点，M，N分别是线段1BB和线段1CC上的动点(含端点)，且满足1BMCN，当M，N运动时，下列结论正确的是（）A．在DMN内总存在与平面ABC平行的线段B．平面DMN平面11BCCBC．三棱锥ADMN的体积为定值D．DMN可能为直角三角形【答案】ABC【解析】取MN、BC的中点O、E，连接OD、OE、AE.对于A选项，11//BBCC且11BBCC，1BMCN，111BMCNCNCNCCAA，且1////BMCNAA，易知四边形BCNM为梯形或平行四边形，因为O、E分别为MN、BC的中点，所以，////OEBMCN，则//OEAD，且1111222BMCNOECCAA，DQ为1AA的中点，112ADAAOE，所以，四边形ADOE为平行四边形，//ODAE，OD平面ABC，AE平面ABC，//OD平面ABC，A选项正确；对于B选项，ABC为等边三角形，E为BC的中点，则AEBC，1BB平面ABC，AE平面ABC，1AEBB，1BCBBBQI，AE平面11BCCB，//ODAE，OD平面11BCCB，OD平面DMN，因此，平面DMN平面11BCCB，B选项正确；对于C选项，因为ADM的面积为定值，11//CCAA，1CC平面11AABB，1AA平面11AABB，所以，1//CC平面11AABB，因为1NCC，所以，点N到平面11AABB的距离为定值，进而可知，三棱锥ADMN的体积为定值，C选项正确；对于D选项，OD平面11BBCC，MN平面11BBCC，ODMN，O为MN的中点，则DMDN，若DMN为直角三角形，则DMN为等腰直角三角形，则12ODOMONMN，设正三棱柱111ABCABC的棱长为2，则2sin603ODAE，则23MN，因为122MNBC，故23MN，所以，DMN不可能为直角三角形，D选项错误.故选：ABC.7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段11BD上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A．三棱锥11ABDC外接球表面积为3B．三棱锥1PABD的体积为定值C．过点P平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDABCD截得的多边形的面积为3D．直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,33【答案】ABD【解析】对于A选项，三棱锥11ABDC外接球即为正方体111