专题11 平面向量小题全归类（练习）（解析版）

专题11平面向量小题全归类目录01平面向量基本定理及其应用............................................................................................................202平面向量共线的充要条件及其应用................................................................................................403平面向量的数量积...........................................................................................................................604平面向量的模与夹角.......................................................................................................................905等和线问题....................................................................................................................................1106极化恒等式....................................................................................................................................1507矩形大法........................................................................................................................................1708平面向量范围与最值问题..............................................................................................................1909等差线、等商线问题.....................................................................................................................2510奔驰定理与向量四心.....................................................................................................................3211阿波罗尼斯圆问题.........................................................................................................................3712平行四边形大法.............................................................................................................................4013向量对角线定理.............................................................................................................................4201平面向量基本定理及其应用1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知a，b是两个不共线的向量，23mab，42nab，3pab，则（）A．568nmpB．568nmpC．11108nmpD．11108nmp【答案】C【解析】因为a，b是两个不共线的向量，设pxmyn，则233422432abxyabxbabyaxy，即243321xyxy，解得54118xy，所以5111110488nmpmn.故选：C2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,ABBCCDABBCACCDAC与BD交于点O，若DOABAC，则（）A．21B．12C．21D．21【答案】A【解析】以C为坐标原点，,CDCA所在直线分别为,xy轴建立如图所示的坐标系，由题意得2AC，则22220,2,,,0,0,,2222ABCAB，0,2AC.因为1,9045135CBCDDCB，故22.5BDC，因为22tan22.5tan4511tan22.5，所以tan22.521（负值舍去），所以tan22.521OCDC，故0,21O.又1,0D，则1,21DO，因为DOABAC，所以21222122，解得21，所以21，故选：A.3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，13AEAD，14BFBC，CE与DF交于点O.设ABa，ADb，若AOab，则（）A．817B．1917C．317D．1117【答案】B【解析】连接AF，AC，,,DOF三点共线，可设AOxADyAF，则1xy，1144AOxADyABBFxADyABADxybya；,,EOC三点共线，可设AOmAEnAC，则1mn，33mmAOADnADABnbna；11143xymnmxynyn，解得：917817xy，8111717AOab，即81119171717.故选：B.02平面向量共线的充要条件及其应用4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在ABC中，点O满足2BOOC，过点O的直线分别交直线,ABAC于不同的两点,MN.设,ABmAM,ACnAN则22mn的最小值是（）A．95B．2C．2D．355【答案】A【解析】因为2BOOC，所以1223333ACmnAOABAANM.又因为MON、、三点共线，所以2133mn.所以32mn.所以22222269(32)51295()55mnnnnnn所以当63,55nm时,22mn有最小值为95.故选:A.5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足12ADDB，若P为线段CD上一点，且满足APABAC（，为正实数），则113的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为P为线段CD上一点，则3APxADyACCxAByAuuuruuuruuuruuuruuur，且1xy，又因为APABAC，可得3xy，即3xy，所以31，可得111133322243333，当且仅当33，即132时，等号成立，所以113的最小值为4.故选：B.6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在ABC中，点O满足2COOB，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且AMmAB，ANnAC，则2mn的最小值为（）A．83B．103C．3D．4【答案】A【解析】由题可知，0,0mn，因为AMmAB，ANnAC，所以1ABAMm，1ACANn，又2COOB，所以22AOACABAO，所以21213333AOABACAMANmn，因为,,MON三点共线，所以21133mn，所以21444482(2)()233333393mnmnmnmnnm，当且仅当43321133mnnmmn，即42,33mn时，等号成立.所以2mn的最小值为83.故选：A03平面向量的数量积7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，(1,0)A，则()A．12||||OPOPB．12||||APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【答案】AC【解析】法一、1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，(1,0)A，1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，3(cos()OP，sin())，(1,0)OA，1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，则221||1OPcossin，222||(sin)1OPcos，则12||||OPOP，故A正确；22221||(cos1)2cos122cosAPsincossin，22222||(cos1)(sin)2cos122cosAPcossin，12||||APAP，故B错误；31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossinsincos()OPOP，312OAOPOPOP，故C正确；11cos0sincosOAOP，23coscos()sinsin()cos[()]cos(2)OPOP，123OAOPOPOP，故D错误．故选：AC．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A，作出单位圆O，并作出角，，，使角的始边与OA重合，终边交圆O于点1P，角的始边为1OP，终边交圆O于3P，角的始边为OA，交圆O于2P，于是1(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，2(cos,sin)P，由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．故选：AC．8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在ABC中，3AB，4AC，π3BAC，2ADDB，P在CD上，12APACAD，则APBC.【答案】4【解析】因为12APACAD，,,PCD三点共线，所以112，解得12，因为2ADDB，所以23ADAB，则11112223APACADACAB，BCACAB，所以1123APBCACAACABB22111236ACABACAB118343462.故答案为：4.9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量(1,3)a，且,ab的夹角为π3，()(23)4a