专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析

专题5.1平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】【新高考专用】【题型1平面向量的基本概念】...........................................................................................................................2【题型2平面向量的线性运算】...........................................................................................................................4【题型3向量共线定理的应用】...........................................................................................................................6【题型4平面向量基本定理的应用】...................................................................................................................8【题型5平面向量的坐标运算】.........................................................................................................................11【题型6向量的线性运算的几何应用】.............................................................................................................131、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解.【知识点1平行向量有关概念的归纳】1.平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】1.平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点3平面向量基本定理的探究】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点4平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【题型1平面向量的基本概念】【例1】（2023·北京大兴·校考三模）设𝑎⃗，𝑏⃗⃗是非零向量，“𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|”是“𝑎⃗=𝑏⃗⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【解答过程】由𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|表示单位向量相等，则𝑎⃗,𝑏⃗⃗同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出𝑎⃗=𝑏⃗⃗，由𝑎⃗=𝑏⃗⃗表示𝑎⃗,𝑏⃗⃗同向且模相等，则𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|，所以“𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|”是“𝑎⃗=𝑏⃗⃗”的必要而不充分条件.故选：B.【变式1-1】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=（）A．12B．1C．√22D．√2【解题思路】根据几何关系求解.【解答过程】如图，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以M是AC的中点，|𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12𝐵𝐷=√22；故选：C.【变式1-2】（2023·江苏盐城·统考三模）已知𝐴𝐵𝐶𝐷是平面四边形，设𝑝：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑞：𝐴𝐵𝐶𝐷是梯形，则𝑝是𝑞的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答过程】在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐵∥𝐷𝐶，且𝐴𝐵=2𝐷𝐶，即四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，充分性成立；若当𝐴𝐷，𝐵𝐶为上底和下底时，满足四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，但𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗不一定成立，即必要性不成立；故𝑝是𝑞的充分不必要条件.故选：A.【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的形状判断错误的是（）A．若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形B．若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形C．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形D．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【解答过程】A选项，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐶，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，A正确.B选项，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷=13𝐵𝐶，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，B正确.C选项，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形；由于|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，C正确.D选项，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形；由于𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，D选项错误.故选：D.【题型2平面向量的线性运算】【例2】（2023·浙江·统考二模）设𝑀是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线的交点，则𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．12𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.【解答过程】𝑀是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线的交点，则𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.故选：A.【变式2-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵边上一点，若𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑚𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑚=（）A．−2B．2C．−1D．3【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.【解答过程】连接𝐶𝐷，如图所示：因为𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝑚=2.故选：B.【变式2-2】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是线段𝐵𝐶上一点，满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶,𝑀是线段𝐴𝐷的中点，设𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则（）A．𝑥−𝑦=−12B．𝑥+𝑦=−12C．𝑥−𝑦=12D．𝑥+𝑦=12【解题思路】利用向量的线性运算，求出𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−56𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到𝑥,𝑦的值，再对各选项分析判断即可求出结果.【解答过程】因为𝐷是线段𝐵𝐶上一点，满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶，所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又𝑀是线段𝐴𝐷的中点，所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−56𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝑥=−56,𝑦=13，故𝑥+𝑦=−12，故选：B.【变式2-3】（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵//𝐶𝐷，�