专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版

专题4.1同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】【新高考专用】【题型1正、余弦齐次式的计算】.......................................................................................................................2【题型2“和”“积”转换】...............................................................................................................................3【题型3诱导公式的应用——化简、求值】........................................................................................................5【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】....................................................................................................6【题型5三角恒等变换的化简问题】...................................................................................................................7【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】....................................................................................................9【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】..................................................................................................11【题型8三角恒等变换的综合应用】.................................................................................................................131、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.【知识点1同角三角函数关系式的常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形2.同角三角函数关系式的注意事项在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【知识点2诱导公式及其应用】1.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.3.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】1.给值求值问题的解题思路给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题的解题思路给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题的解题思路给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.4.三角恒等变换的综合应用的解题策略三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.【题型1正、余弦齐次式的计算】【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼−sin2𝛼=13，则tan𝛼=（）A．13B．12C．13或1D．12或1【解题思路】利用弦化切可得出关于tan𝛼的等式，即可求得tan𝛼的值.【解题思路】因为1−2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼−sin2𝛼=cos2𝛼+sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼−sin2𝛼=(cos𝛼−sin𝛼)2(cos𝛼+sin𝛼)(cos𝛼−sin𝛼)=cos𝛼−sin𝛼cos𝛼+sin𝛼=1−tan𝛼1+tan𝛼=13，解得tan𝛼=12.故选：B.【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知𝛼∈(0,π)，且sin𝛼−√3cos𝛼=2，则tan𝛼=（）A．−√3B．−√33C．√33D．√3【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【解题思路】由题设(sin𝛼−√3cos𝛼)2=sin2𝛼−2√3sin𝛼cos𝛼+3cos2𝛼=4，所以sin2𝛼−2√3sin𝛼cos𝛼+3cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan2𝛼−2√3tan𝛼+3tan2𝛼+1=4，且𝛼∈(0,π)，故tan2𝛼−2√3tan𝛼+3=4tan2𝛼+4，即3tan2𝛼+2√3tan𝛼+1=(√3tan𝛼+1)2=0，所以tan𝛼=−√33.故选：B.【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tan𝜃=2，则cos𝜃−2sin𝜃cos𝜃+sin𝜃=（）A．0B．−53C．-1D．13【解题思路】分子分母同时除以cos𝜃进行弦切互化即可求解.【解题思路】由题知，tan𝜃=2，则cos𝜃−2sin𝜃cos𝜃+sin𝜃=cos𝜃cos𝜃−2sin𝜃cos𝜃cos𝜃cos𝜃+sin𝜃cos𝜃=1−2tan𝜃1+tan𝜃=1−2×21+2=−33=−1.故选：C.【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角𝛼的顶点为原点，始边为𝑥轴的非负半轴，若其终边经过点𝑃(−2,√5)，则sin2𝛼cos2𝛼+1=（）A．−7√52B．−4√513C．−13√54D．−2√57【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【解题思路】由题意知tan𝛼=−√52，则原式=2sin𝛼cos𝛼2cos2𝛼+sin2𝛼=2tan𝛼2+tan2𝛼=−√52+54=−4√513.故选：B.【题型2“和”“积”转换】【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sin𝛼−cos𝛼=13，则sin𝛼cos𝛼=（）A．−89B．23C．49D．√179【解题思路】把sin𝛼−cos𝛼=13左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案.【解题思路】∵sin𝛼−cos𝛼=13，∴(sin𝛼−cos𝛼)=219,1−2sin𝛼cos𝛼=19，∴sin𝛼cos𝛼=49.故选：C.【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sin𝛼cos𝛼=−16, 𝜋4𝛼3𝜋4，则sin𝛼-cos𝛼的值等于（）A．2√33B．−2√33C．−√63D．43【解题思路】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.【解题思路】由于sin𝛼cos𝛼=−16, 𝜋4𝛼3𝜋4，所以sin𝛼0,cos𝛼0，故sin𝛼−cos𝛼0，所以sin𝛼−cos𝛼=√(sin𝛼−cos𝛼)2=√1−2sin𝛼cos𝛼=√1+13=2√33.故选：A.【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sin𝛼−cos𝛼=15,𝛼∈(−π2,π2)，则sin𝛼cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=（）A．−125B．125C．−1235D．1235【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.【解题思路】由题意可得：(sin𝛼−cos𝛼)2=1−2sin𝛼cos𝛼=125，整理得sin𝛼cos𝛼=12250，且𝛼∈(−π2,π2)，可得𝛼∈(0,π2)，即sin𝛼0,cos𝛼0，可得sin𝛼+cos𝛼0，因为(sin𝛼+cos𝛼)2=1+2sin𝛼cos𝛼=4925，可得sin𝛼+cos𝛼=75，所以sin𝛼cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=122575=1235.故选：D.【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sin𝛼+cos𝛼=𝑥，且sin3𝛼+cos3𝛼=𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3=（）A．－1B．12C．1D．√2【解题思路】根据题意，求出sin𝛼cos𝛼=𝑥2−12，则可以得到，sin3𝛼+cos3𝛼=3𝑥2−𝑥32=𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，进而可得𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3的值.【解题思路】sin𝛼+cos𝛼=𝑥，故(sin𝛼+cos𝛼)2=𝑥2，得1+2sin𝛼cos𝛼=𝑥2，得到sin𝛼cos𝛼=𝑥2−12，sin3𝛼+cos3𝛼=(sin𝛼+cos𝛼)(sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼)=𝑥(3−𝑥2)2=3𝑥2−𝑥32，所以，3𝑥2−𝑥32=𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，得𝑎0=0，𝑎1=32，𝑎2=0，𝑎3=−12，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3=1故选：C.【题型3诱导公式的应用——化简、求值】【例3】（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知𝛼∈(π2,π)，若cos(π6−𝛼)=−√24，则cos(𝛼+5π6)的值为（）A．√24B．−√24C．−√144D．√144【解题思路】根据诱导公式，结合题设，即可求得答案.【解题思路】由题意得cos(𝛼+5π6)=cos[π−(π6−𝛼)]=−cos(π6−𝛼)=√24，故选：A.【变式3-1】（2023上·全国·高一期末）已知sin(π6+𝛼)=13，且𝛼∈(π3,π)，则cos(π3−𝛼)的值为（）A．−2√23B．−13C．2√23D．13【解题思路】以π6+𝛼为整体，结合诱导公式运算求解.【解题思路】由题意可得：cos(π3−𝛼)=cos[π2−(π6+𝛼)]=sin(π6+𝛼)=13.故选：D.【变式3-2】（2023上·高一课时练习）已知sin(π−𝛼)=13，则sin(𝛼−2021π)的值为（）A．2√23B．−2√23C．13D．−13【解题思路】根据题意得到sin𝛼=13，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.【解题思路】由sin(π−𝛼)=sin𝛼，可得sin𝛼=13，则sin(𝛼−2021π)=sin[(𝛼−π)−2020π]=sin(𝛼−π)=−sin𝛼=−13.故选：