专题3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题3.2函数的单调性、极值与最值【七大题型】【新高考专用】【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】....................................................................................................2【题型2由函数的单调性求参数】.......................................................................................................................4【题型3利用导数求函数的极值（点）】............................................................................................................6【题型4根据极值（点）求参数】.......................................................................................................................8【题型5利用导数求函数的最值】.....................................................................................................................10【题型6已知函数最值求参数】.........................................................................................................................12【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】..............................................................................................141、函数的单调性、极值与最值导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大.【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点2函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数𝑦=−𝑥2+ln𝑥的单调递增区间为（）A．(12,e)B．(0,e)C．(0,12)D．(0,√22)【解题思路】先求导，再由𝑦′0求解.【解答过程】解：因为𝑦=−𝑥2+ln𝑥，所以𝑦′=−2𝑥+1𝑥(𝑥0)，由𝑦′0，即−2𝑥+1𝑥0，解得0𝑥√22，所以函数𝑦=−𝑥2+ln𝑥的单调递增区间为(0,√22)，故选：D.【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥B．𝑓(𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)C．𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥D．𝑓(𝑥)=e𝑥−e−𝑥【解题思路】对于A，说明𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥不是偶函数即可；对于B，说明𝑓(𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)是奇函数不是偶函数即可；对于C，用定义说明𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥是偶函数，用导数说明它在(0,+∞)上单调递增；对于D，说明𝑓(𝑥)=e𝑥−e−𝑥是奇函数不是偶函数即可.【解答过程】对于A，因为𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥的定义域为(0,+∞)不关于原点对称，所以𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为∀𝑥∈R,√𝑥2+1−𝑥√𝑥2−𝑥=|𝑥|−𝑥≥0，所以𝑓(𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)的定义域为R关于原点对称，但𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)+ln(𝑥+√𝑥2+1)=ln1=0，所以𝑓(𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)是奇函数不是偶函数，故B选项不符合题意；对于C，因为𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥的定义域为R关于原点对称，且𝑓(−𝑥)=e−𝑥+e𝑥=e𝑥+e−𝑥=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥是偶函数，又𝑓′(𝑥)=e𝑥−e−𝑥，注意到当𝑥∈(0,+∞)时，有e𝑥e0=1e−𝑥，所以此时𝑓′(𝑥)=e𝑥−e−𝑥0，所以𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥在(0,+∞)上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为𝑓(𝑥)=e𝑥−e−𝑥的定义域为R关于原点对称，但𝑓(−𝑥)=e−𝑥−e𝑥=−(e𝑥−e−𝑥)=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)=e𝑥−e−𝑥是奇函数不是偶函数，故D选项不符合题意.故选：C.【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数𝑦=𝑥ln𝑥（）A．严格增函数B．在(0,1e)上是严格增函数，在(1e,+∞)上是严格减函数C．严格减函数D．在(0,1e)上是严格减函数，在(1e,+∞)上是严格增函数【解题思路】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.【解答过程】解：已知𝑦=𝑥ln𝑥，𝑥0，则𝑦′=ln𝑥+𝑥⋅1𝑥=ln𝑥+1，令𝑦′=0，即ln𝑥+1=0，解得𝑥=1e，当0𝑥1e时，𝑦′0，所以在(0,1e)上是严格减函数，当𝑥1e时，𝑦′0，所以在(1e,+∞)上是严格增函数，故选：D.【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥−2)+ln(4−𝑥)，则𝑓(𝑥)的单调递增区间为（）A．(2,3)B．(3,4)C．(−∞,3)D．(3,+∞)【解题思路】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【解答过程】由{𝑥−204−𝑥0得：2𝑥4，即𝑓(𝑥)的定义域为(2,4)；∵𝑓′(𝑥)=1𝑥−2−14−𝑥=2(3−𝑥)(𝑥−2)(4−𝑥)，∴当𝑥∈(2,3)时，𝑓′(𝑥)0；当𝑥∈(3,4)时，𝑓′(𝑥)0；∴𝑓(𝑥)的单调递增区间为(2,3).故选：A.【题型2由函数的单调性求参数】【例2】（2023·广西玉林·统考二模）若函数𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+1)e𝑥在[1,2]上为增函数，则a的取值范围是（）A．[−12,+∞)B．[−13,+∞)C．[−14,+∞)D．[0,+∞)【解题思路】对函数求导，根据题意可得𝑓′(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑎+1)e𝑥≥0对𝑥∈[1,2]恒成立，列出不等式组，解之即可求解.【解答过程】依题意得𝑓′(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑎+1)e𝑥≥0对𝑥∈[1,2]恒成立，即𝑎𝑥+𝑎+1≥0对𝑥∈[1,2]恒成立．因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，所以{𝑎+𝑎+1≥02𝑎+𝑎+1≥0，解得𝑎≥−13．故选：B.【变式2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数𝑓(𝑥)=𝑥22−ln𝑥在区间(𝑚,𝑚+13)上不单调，则实数m的取值范围为（）A．0𝑚23B．23𝑚1C．23≤𝑚≤1D．m1【解题思路】首先求出𝑓(𝑥)的定义域和极值点，由题意得极值点在区间(𝑚,𝑚+13)内，且𝑚0，得出关于𝑚的不等式组，求解即可．【解答过程】函数𝑓(𝑥)=𝑥22−ln𝑥的定义域为(0,+∞)，且𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥=𝑥2−1𝑥=(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥，令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=1，因为𝑓(𝑥)在区间(𝑚,𝑚+13)上不单调，所以{𝑚0𝑚1𝑚+13，解得：23𝑚1故选：B.【变式2-2】（2023下·重庆·高二校联考期中）若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎ln𝑥−𝑥−2023(𝑎∈R)在区间[1,+∞)上单调递增，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,1)B．(−∞,1]C．(−∞,−18)D．(−∞,−18]【解题思路】先求导数，利用𝑓′(𝑥)≥0在[1,+∞)上恒成立，分离参数进行求解.【解答过程】𝑓′(𝑥)=2𝑥−𝑎𝑥−1，因为𝑓(𝑥)在区间[1,+∞)上单调递增，所以𝑓′(𝑥)≥0在[1,+∞)上恒成立，即2𝑥2−𝑥≥𝑎在[1,+∞)上恒成立，因为二次函数𝑦=2𝑥2−𝑥的图象的对称轴为𝑥=14，且开口向上所以𝑦=2𝑥2−𝑥的最小值为1，所以𝑎≤1.故选：B.【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑔(𝑥)=𝑎(𝑥−1)2𝑥+1−ln(2𝑥−1)在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,4]B．(−∞,163]C．(4,163]D．(−∞,6]【解题思路】依据原函数的单调性得到导函数的正负，后利用二次函数性质求参数范围即可.【解答过程】由𝑔(𝑥)=𝑎(𝑥−1)2𝑥+1−ln(2𝑥−1)得𝑔′(𝑥)=𝑎(2𝑥+1)−2(𝑎𝑥−𝑎)(2𝑥+1)2−22𝑥−1=3𝑎(2𝑥−1)−2(2𝑥+1)2(2𝑥+1)2(2𝑥−1)=−8𝑥2+(6𝑎−8)𝑥−3𝑎−2(2𝑥+1)2(2𝑥−1)，因为函数𝑔(𝑥)在[1,+∞)上单调递减，所以𝑔