专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题1.1集合与常用逻辑用语【七大题型】【新高考专用】【题型1集合中元素个数问题】...........................................................................................................................3【题型2子集的个数问题】...................................................................................................................................4【题型3集合的交、并、补集运算】...................................................................................................................6【题型4集合中的含参问题】...............................................................................................................................7【题型5集合的新定义问题】...............................................................................................................................8【题型6充分条件与必要条件】...........................................................................................................................9【题型7全称量词与存在量词命题】.................................................................................................................111、集合集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。2、常用逻辑用语常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。【知识点1集合】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA【知识点2常用逻辑用语】1．充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题若p,则q是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”4.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”5．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．【题型1集合中元素个数问题】【例1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合𝑃={𝑛|𝑛=2𝑘−1,𝑘∈𝑁∗,𝑘≤10}，𝑄={2,3,5}，则集合𝑇={𝑥𝑦|𝑥∈𝑃,𝑦∈𝑄}中元素的个数为（）A．30B．28C．26D．24【解题思路】根据题意得到𝑃={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，再结合𝑇={𝑥𝑦|𝑥∈𝑃,𝑦∈𝑄}求解即可.【解答过程】𝑃={𝑛|𝑛=2𝑘−1,𝑘∈𝑁∗,𝑘≤10}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，𝑄={2,3,5}，因为𝑇={𝑥𝑦|𝑥∈𝑃,𝑦∈𝑄}，当𝑥∈𝑃,𝑦=2时，𝑥𝑦为偶数，共有10个元素.当𝑥∈𝑃,𝑦=3时，𝑥𝑦为奇数，此时𝑥𝑦=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.当𝑥∈𝑃,𝑦=5时，𝑥𝑦为奇数，此时𝑥𝑦=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.综上𝑇={𝑥𝑦|𝑥∈𝑃,𝑦∈𝑄}中元素的个数为10+10+8=28个.故选：B.【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知𝐴是由0，𝑚，𝑚2−3𝑚+2三个元素组成的集合，且2∈𝐴，则实数𝑚为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【解题思路】由2∈𝐴，可得𝑚=2或𝑚2−3𝑚+2=2，解方程求𝑚，再去验证是否符合集合中元素性质即可．【解答过程】因为集合𝐴是由0，𝑚，𝑚2−3𝑚+2三个元素组成的集合，所以𝐴={0,𝑚,𝑚2−3𝑚+2}，又2∈𝐴，所以𝑚=2或𝑚2−3𝑚+2=2，解方程可得𝑚=2或𝑚=0或𝑚=3，当𝑚=2时，𝐴={0,2}，与已知矛盾，舍去；当𝑚=0时，𝐴={0,2}，与已知矛盾，舍去；当𝑚=3时，𝐴={0,3,2}，满足题意，∴𝑚=3，B正确，故选：B.【变式1-2】（2022上·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2-3𝑥+2=0}的元素只有一个，则实数a的值为（）A．98B．0C．98或0D．无解【解题思路】集合A有一个元素，即方程𝑎𝑥2-3𝑥+2=0有一解，分𝑎=0，𝑎≠0两种情况讨论，即可得解.【解答过程】集合A有一个元素，即方程𝑎𝑥2-3𝑥+2=0有一解，当𝑎=0时，𝐴={𝑥|𝑎𝑥2-3𝑥+2=0}={𝑥|-3𝑥+2=0}={23}，符合题意，当𝑎≠0时，𝑎𝑥2-3𝑥+2=0有一解，则Δ=9-8𝑎=0，解得：𝑎=98，综上可得：𝑎=0或𝑎=98，故选：C.【变式1-3】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，𝑆,𝑇⊆𝑈且各有14，28个元素，则∁𝑆∪𝑇(𝑆∩𝑇)的元素个数最少是（）A．14B．30C．32D．42【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.【解答过程】设𝑆∩𝑇=𝑀,𝑀中有𝑥个元素，则0≤𝑥≤14,𝑥∈N,所以𝑆∪𝑇中的元素个数为14+28−𝑥=42−𝑥，因此∁𝑆∪𝑇(𝑆∩𝑇)中的元素个数为𝑆∪𝑇中的元素减去𝑆∩𝑇中的元素个数，即为42−𝑥−𝑥=42−2𝑥，由于0≤𝑥≤14,𝑥∈N，所以42−2𝑥∈[14,42]，故当𝑥=14时，有最小值14故选：A.【题型2子集的个数问题】【例2】（2023·河南·校联考二模）集合𝐴={𝑥|1𝑥2−13,𝑥∈𝑁}的子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【解题思路】解不等式可求得集合𝐴，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可.【解答过程】∵𝐴={𝑥|1𝑥2−13,𝑥∈𝑁}={𝑥|4𝑥8,𝑥∈𝑁}={5,6,7}，∴集合𝐴的子集个数为23=8.故选：D.【变式2-1】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件{2,3}⊆𝐴⊆{1,2,3,4}的集合𝐴有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【解题思路】根据子集的定义即可得解.【解答过程】解：∵{2,3}⊆𝐴⊆{1,2,3,4}，∴𝐴={1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3}，共4个．故选：C．【变式2-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合𝐴={𝑎,𝑏}的所有非空子集的元素之和等于12，则𝑎+𝑏等于（）A．1B．3C．4D．6【解题思路】首先列出集合𝐴的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合𝐴={𝑎,𝑏}的非空子集有{𝑎}、{𝑏}、{𝑎,𝑏}，所以𝑎+𝑏+𝑎+𝑏=12，解得𝑎+𝑏=6.故选：D.【变式2-3】（2023·湖南·校联考模拟预测）设集合𝐴={𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4}，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为𝐵={−1,3,5,8}，则集合𝐴=（）A．{−1,3,5,8}B．{−3,0,2,6}C．{4,8,10,13}D．{7,10,12,16}【解题思路】不妨设𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4，由题意可得{𝑎1+𝑎2+𝑎3=−1𝑎1+𝑎2+𝑎4=3𝑎1+𝑎3+𝑎4=5𝑎2+𝑎3+𝑎4=8，即可得解.【解答过程】不妨设𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4，则A的所有三元子集为{𝑎1,𝑎2,𝑎3},{𝑎1,𝑎2,𝑎4},{𝑎1,𝑎3,𝑎4},{𝑎2,𝑎3,𝑎4}，由题意可得{𝑎1+𝑎2+𝑎3=−1𝑎1+𝑎2+𝑎4=3𝑎1+𝑎3+𝑎4=5𝑎2+𝑎3+𝑎4=8，解得{𝑎1=−3𝑎2=0𝑎3=2𝑎4=6，因此集合𝐴={−3,0,2,6}.故选：B.【题型3集合的交、并、补集运算】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知集合𝐴={𝑥|−3𝑥≤4},𝐵={𝑥|𝑥−1}，则𝐴∩𝐵=（）A．(−1,4]B．[−1,4)C．(−3,−1)D．(−3,−1]【解题思路】根据交集概念进行计算.【解答过程】因为𝐴={𝑥|−3𝑥≤4},𝐵={𝑥|𝑥−1}，所以𝐴∩𝐵=(−1,4]．故选：A．【变式3-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设集合𝐴={𝑥|𝑥−1≤1}，集合𝐵={𝑥|𝑥≥−1}，则𝐴∪𝐵=（）A．(−∞,−1]∪[2,+∞)B．[−1,2]C．RD．∅【解题思路】利用并集定义即可求得